[BZOJ1492] [NOI2007] 货币兑换Cash(cdq分治+斜率优化)
题面
分析
dp方程推导
显然，必然存在一种最优的买卖方案满足：每次买进操作使用完所有的人民币；每次卖出操作卖出所有的金券.
设dp[i]表示第i天卖出所有金券的能够得到的钱数。则有：
[dp[i]=max(dp[i-1],frac{dp[j]}{A[j] imes R[j]+B[j] } imes (A[i] imes R[j]+B[i])） （0 leq j < i)
]
意义是第j天按R[j]的比例用所有钱买入股票，然后在第i天全部卖出，比例仍为R[j]
去掉max，把i,j分开移项，得
[dp[i]=frac{dp[j]}{A[j] imes R[j]+B[j] } imes B[i]+frac{dp[j] imes R[j]}{A[j] imes R[j]+B[j] } imes A[i]
]
令(x[j]=frac{dp[j]}{A[j] imes R[j]+B[j] }),(y[j]=frac{dp[j] imes R[j]}{A[j] imes R[j]+B[j] })
那么状态转移方程就变成了(dp[i]=x[j] imes B[i]+y[j] imes A[i])
变换成直线方程的形式，y[j]前面有个系数A[i],把它除掉，得
[y[j]=-frac{B[i]}{A[i]} imes x[j]+dp[i]
]
因此用斜率为(-frac{B[i]}{A[i]})的直线经过点((x[j],y[j]))，解出的最小截距就是(dp[i])的值。注意到(-frac{B[i]}{A[i]})和x[j]并不单调，不能用单调队列优化。考虑cdq分治求解
cdq 分治
cdq分治求解斜率优化其实类似一个三维偏序过程，第一维是点i对应的直线斜率(本题中是(-frac{B[i]}{A[i]}))，第二，三维是对应的点的坐标
首先在cdq分治的时候需要维护一个数组a，记录a对应的dp值下标id,和它对应点的坐标。先把a按直线斜率排序，然后开始cdq分治。
当我们分治到区间[l,r]的时候，我们执行以下伪代码
procedure CDQ(l,r){
if(l==r){
用a[l]对应的dp值来更新a的(x,y)
return
}
mid=(l+r)/2
把[l,r]内的元素按id分成两个区间，id<=mid的分到[l,mid],否则分到[mid+1,r]
CDQ(l,mid),先递归计算id值小的
把[l,mid]区间对应的点建出凸壳，用于下一步更新[mid+1,r]的dp值
for(k in [mid+1,r]){
用单调队列更新a[k]对应的dp值，因为我们cdq之前按斜率排过序，所以不会出问题
注意到在这里面即使a[k]对应的dp值的最优决策不在[mid+1,r]中，那么回溯到一个更大的区间后，也会被更新到
}
CDQ(mid+1,r)，继续递归下去更新
按x,y归并排序[l,mid],[mid+1,r],这样回溯的时候x单调递增，才可以直接单调栈(队列)建凸壳
}
注意精度问题，以及斜率为(+ ∞)的情况
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
#define INF 1e18
#define maxn 100000
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
int n;
db S;
db A[maxn+5],B[maxn+5],R[maxn+5];
struct Vector{
int id;
db x;
db y;
Vector(){
}
Vector(int _id,db _x,db _y){
id=_id;
x=_x;
y=_y;
}
}a[maxn+5];
typedef Vector point;
db slope(point p,point q){
db down=p.x-q.x;
db up=p.y-q.y;
if(fabsl(down)<=eps) return INF;
else return up/down;
}
int cmp1(point p,point q){
db k1=(fabs(A[p.id])>eps)?-B[p.id]/A[p.id]:INF;
db k2=(fabs(A[q.id])>eps)?-B[q.id]/A[q.id]:INF;
return k1<k2;//按斜率排序，保证斜率单调
}
int cmp2(point p,point q){//按x,y归并排序
if(p.x==q.x) return p.y<q.y;
else return p.x<q.x;
}
int head,tail;
point q[maxn+5];
point tmp[maxn+5];
db dp[maxn+5];
db get_x(int j){
return dp[j]/(A[j]*R[j]+B[j]);
}
db get_y(int j){
return dp[j]*R[j]/(A[j]*R[j]+B[j]);
}
void cdq_divide(int l,int r){
if(l==r){
dp[a[l].id]=max(dp[a[l].id],dp[a[l].id-1]);
a[l].x=get_x(a[l].id);
a[l].y=get_y(a[l].id);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
int pl=l,pr=mid+1;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(a[i].id<=mid) tmp[pl++]=a[i];
else tmp[pr++]=a[i];
}
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=tmp[i];
cdq_divide(l,mid);
head=1,tail=0;
for(int i=l;i<=mid;i++){
while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])<=slope(q[tail-1],a[i])) tail--;
q[++tail]=a[i];
}
for(int k=r;k>mid;k--){//由于是维护上凸壳,斜率从小到大排,要倒序更新
int i=a[k].id;
db s2=(fabs(A[i])>eps)?-B[i]/A[i]:INF;
while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])>=s2) head++;
int j=q[head].id;
dp[i]=max(dp[i],A[i]*get_y(j)+B[i]*get_x(j));
// dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]);
}
cdq_divide(mid+1,r);
int num=l-1;
pl=l,pr=mid+1;
while(pl<=mid&&pr<=r){//按x,y归并排序
if(cmp2(a[pl],a[pr])) tmp[++num]=a[pl++];
else tmp[++num]=a[pr++];
}
while(pl<=mid) tmp[++num]=a[pl++];
while(pr<=r) tmp[++num]=a[pr++];
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=tmp[i];
}
int main(){
// freopen("5.in","r",stdin);
scanf("%d %lf",&n,&S);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf %lf %lf",&A[i],&B[i],&R[i]);
}
dp[0]=S;
for(int i=0;i<=n;i++){
a[i].id=i;
}
sort(a,a+1+n,cmp1);
cdq_divide(0,n);
printf("%.3lf
",dp[n]);
}