设 (A) 是任意 (m imes n) 矩阵，则 (A^TA) 有如下分解：
(A^TA=P Lambda P^{-1}) ，其中 (Lambda) 是对角矩阵，其对角线上的元素是 (A^TA) 的特征值，则 (A^TA) 有 (r(Lambda)) 个非零特征值。
由于相似矩阵的秩相等，以及 (r(AA^T)=r(A^T)=r(A)=r(A^TA))，
则有 (r(Lambda)=r(A^TA)=r(A))，因此 (A^TA) 有 (r(A)) 个非零特征值。
由于 (A) 的奇异值就是 (A^TA) 的特征值的平方根，因此 (A) 有 (r(A)) 个非零奇异值。