单变量微积分笔记23——部分分式

　　求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分，P(x)和Q(x)是关于x多项式。如果不能求出这类积分的原函数，结果将令人沮丧，现在我们要试图寻找一个有效的方法求解这类问题。

选定系数法

　　这个很容易：

　　但是如果将其写成： 看起来就不那么容易求解了。这就要求我们能够去掉部分分式的伪装，也就是展开部分分式，变成我们熟悉的被积函数。

　　首先对被积函数的分母进行因式分解，利用初中的十字相乘法：

　　再将其拆分为新的等式：

 

　　最后再求出A和B，这需要一点技巧。现将等式两边都乘以x – 1， 以便消去其中一个分式的分母：

　　将x = 1代入等式，这样就可以消去B的分式，直接求得A：

 

　　用同样的方法可求得B = 3。于是：

 

　　掩盖法能够工作必须满足两个条件：

1. Q(x)能够被因是分解；
2. P(x)的最高次数 < Q(x)的最高次数

展开部分分式

　　这里不能直接展开成：，这是无法求解的。对于分母是高次项的部分分式，其展开的形态应当型如：

 

　　所以：

　　这种方法不能求解A，因为没法消除B项。但是可以使用古老的代数法求解，随便找一个数字，代入即可，这里令x = 0，等式变为：

　　最终：

无法线性展开的高次分式

　　将分母的多项式因式分解后，如果每个因式的最高次项都是1次，则称该多项式可以线性展开，如 x³ – 3x + 2 = (x – 1)²(x + 2)，对于不能线性展开的多项分式如何求解呢？

 

　　首先是仍然是因式分解：

 

　　然后要将部分分式展开，与之前不同，分子要加入一次项：

 

　　用选定系数法求出A：

 

　　接下来要设法求解B和C，先将分母全部消去：

　　此时我们观察等式最高次项的次数，右侧展开后会得到Ax² + Bx²，等式左右两边的高次项系数应当相等：

 

　　由于省略号代表的表达式中将不会出现x²，故B = 1/2，代入可求得C = 1/2

　　最后求解积分：

 

　　现在面对的就是积分问题了，所以并不是说部分分式展开就万事大吉。第一部分很容易求解，答案是(ln|x - 1|)/2，第二部分可用猜测法求得原函数(ln(x² + 1))/4，第三部分需要借助三角替换，令x = tanθ

　　最终：

 

处理假分式

　　如果P(x)的次数大于Q(x)的次数，多项式就是一个假分式，这类问题只要将其变为真分式就可以处理。

 

　　与部分分式相反，第一步是计算多项式：

 

　　用除法将其变为真分式，这个过程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式：

　　商是x – 1，余数是3x – 2，所以：

 

　　又看到了部分分式：

 

超级复杂的积分

　　被积函数作为部分分式展开：

 

　　一共有12个未知数，正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数，只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

　　然而即便展开了部分分式，仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分：

 

　　一共有12个未知数，正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数，只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

　　然而即便展开了部分分式，仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分：

　　没完没了了，应该放弃计算，交给计算机处理，只要知道计算思路即可。

示例

示例1

示例2

示例3

 

tanθ=2x

示例4

 

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