并查集简单介绍

部分转载了洛谷上的题解：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1111

以及其他网站的图片及文字：https://www.cnblogs.com/MrSaver/p/9607552.html

• 并查集

作用：可以查询两个节点是否是在同一个集合内

存储结构：树形结构，但一般用一位数组就能够存下来。每一个数组的值a[i] = b 指的是结点i的父节点是结点b。存储就是这样简单。

• 查

目的：查找结点x的祖先结点是谁

示意图：其实就是数组的元素转移，有点类似于链表的遍历

递归形式

int findfather(int x){
    return x == a[x]?x:find(a[x]);
}

循环形式

int findfather(int x){
    while(x!=a[x])
        x = a[x];
    return x; 
}

• 集合的并

并就是讲两个节点合并到一个集合里面（这个集合必须是树），每个节点对应一个祖先，最老公共祖先的祖先就是自己，而每个节点在合并前的初始值也是自己，也就是：若有一个节点aa，设它的祖先为s[a]s[a]，那么它的初始值就是s[a]=as[a]=a。这个合并操作并不难，只要判断一下这两个节点是否有祖先，没有就很好办，直接随便连，比如：aa和bb，他们都没有祖先（也就是祖先是自己），那么就可以s[a]=bs[a]=b了，如果s[a] \neq as[a]≠a，那么就让bb的最老祖先（可能是自己）再往上多一个祖先s[a]s[a]，此时bb的最老祖先也就是aa的最老祖先了（不一定是aa）

 将结点x所在的集合与y所在的集合合并起来

void join(int x,int y){
    int fx = find(x),fy = find(y); //去找公共祖先 
    if(fx!=fy){
        a[fx] = fy;
    }
}

• 压缩路径

对于查操作，每次寻找祖先都需要遍历一遍路径，类似与像链表一样遍历数组，而我们的目的仅仅想只要它的祖先是谁，仅仅是查祖先，就和路径没多大关系。我们知道，一条路径上的结点的祖先都是同一个，只需要让这些点都指向祖先就行了。

• 具体代码

递归形式

int findfather(int x){
    if(x!=a[x])
        a[x] = findfather(a[x]);
    return a[x];
}

循环形式

int findfather(int x){
    int r = x;
    while(a[r] != r){ //找祖先 
        r = a[r];
    }
    int rr = x;
    while(a[rr] != rr){ //把路径的节点都指向祖先 
        rr = a[rr];
        a[rr] = r;
    }
    return r;
}