凑硬币问题
题目详情为：有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？
最近在学习一些重要算法，作为五大算法之一的动态规划法，自然要认真学习，这是一道典型的动态规划问题，这里使用动态规划法的思想来解题；
我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币，通过题目，很容易得到：当i=0时，d(0)=0， 表示凑够0元最小需要0个硬币; 当i=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的， 即d(0)=0，则有d(1) = d(1 - 1) + 1 = 1，凑够1元最少需要1个硬币，当i = 2时，d(2) = d(2 - 1) + 1= d(1) +１=2, 当i = 3时，d(3) = min{d(3 - 1) + 1 , d(3 - 3) + 1} = min(3, 1) = 1；动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。在这里d(i) 就是状态，通过分析推导的过程，可以得到，针对面值为1，3，5的硬币，可以得到递推公式（状态转移方程）为：
d(i) = min{ d(i - Vj) + 1} ,i >= Vj。
在动态规划中，得到了该问题的状态及其状态转移方程，问题已经解决了一大半了，然后，在分析的过程中，并不能一眼就看出递推公式，它需要更多的练习和更多的实践积累的，并不是一朝一夕能做到的，况且动态规划的关键就是找到状态和状态转移方程，那么容易找到，就不是动态规划了，就不是难点了。根据这个公式，我们可以比较轻易的写出实现的代码：
/* @动态规划练习题 如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int DP_leastcoin(const int coin[], int money) { int *d = (int *)malloc(sizeof(int) * (money + 1)); memset(d, 0, sizeof(int) * money); int iterx = 0, itery = 0; int MIN = 0; int result = 0; d[0] = 0; for(iterx = 1; iterx <= money; iterx++) { for(itery = 0; itery < 3 && iterx >= coin[itery]; itery++) { if(itery == 0) { MIN = d[iterx - coin[itery]] + 1; } else if(MIN > (d[iterx - coin[itery]] + 1)) { MIN = (d[iterx - coin[itery]] + 1); } } d[iterx] = MIN; } printf("要凑的钱 MIN "); for(iterx = 0; iterx <= money; iterx++) { printf("序号%-3d : %d ", iterx, d[iterx]); } result = d[money]; free(d); return result; } int main(void) { const int coin[3] = {1, 3, 5}; printf(" The result is %d ", DP_leastcoin(coin, 112)); return 0; }
在研究凑硬币问题的时候，我把硬币的面值换为2，3，5，然后依旧使用这个状态转移方程，得到的结果是错的，由此也可以知道，状态转移方程是针对某一问题分析得到的，尽管只是修改了硬币的面值，该方程就不再成立了，首先我们要找到问题所在，是什么问题导致了该方程不再适用。
我们手动分析面值为2，3，5的情况：
d(0) = 0
d(1) = 0
d(2) = 1
d(3) = 1
d(4) = 2
d(5) = 1
d(6) = 2
d(7) = 2
d(8) = 2
d(9) = 3
d(10) = 2
d(11) = 3
我们先来看看面值为2，3，5的结果图片,看看是在哪里开始出错的：
找出两者不一样的值，发现是从序号4开始的，d(4) , d(6) , d(9) , d(11) 这几个不同（当然后续还有其他不同的值），把这些状态代入上面的状态转移方程，看看那哪里不对：
d(4) = min{ d(4 - 3) + 1, d(4 - 2) + 1} = min{ d(1)+1, d(2)+1 }=min(0+1, 1+1) = 1;
问题来了，本来d(4)应该是等于2，由两个面值额外2的硬币凑成，这里怎么会有1呢？1的由来，是d(1)+1 = 1；d(6)也是有问题的，看下面
d(6) = min{d(6 - 5)+1, d(6 - 3)+1, d(6 - 2)+1} = min(d(1)+1, d(3)+1, d(4)+1}=min(1, 2, 2);
问题还是在d(1)上面，至于后面的d(9) 和d(11)是因为使用了错误的d(6)和d(4)才错的，那这个方程的罪魁祸首就是d(1)咯？
假设我们把d(4) 和 d(6) 都纠正过来，即d(4)= 2, d(6) = 2,那么结果又如何，你可以自己从新列一遍，从d(6)开始，后面都是正确的。这里把我纠正的图片发一下，面值为2，3，5的，我给的需要凑得钱值是112，设一个更大的值，容易排查错误情况：
上面没有把数据全部列出来。我检查了一下，对于面值为2，3，5的情况，没有发现错误的。
很奇怪，这样一改程序就正确了，我猜想，把面值1，3，5的状态转移方程，拿到面值为2，3，5问题里面就出错，而修改一下（2，3，5）问题的前面某些值d(4)和d(6)，状态方程依旧适用，主要原因还是在面值为1的硬币上，由于存在面值为1的情况，假设要凑的钱数为N，那么只要N>0，肯定可以凑出来，把硬币面值换为（2，3，5），那要凑出1块钱是不可能的，所以d(1)+1就有了问题，因为你无法凑到1块钱，是不能使用d(1)的，把存在d(1)的情况去掉，那结果就是正确的，现在知道为什么是4和6了吧，因为你的面值为2，3，5，一个数减掉2，3，5得到1的数就是3，4，6，所以，d(3), d(4) ,d(6)就是错的，那前面怎么没有指出d(3)，因为恰好d(1)的结果不影响d(3)，尽管如此，还是要把d(1)去掉，方法如下：
d(4) = min{d(4 - 2) + 1} = min(2) = 2，本来是d(4) = min{d(4 - 2) + 1, d(4 - 3) + 1} = min(2 , 1) = 1
程序修改十分简单，就在嵌套的for循环里面加上一条语句 “if(iterx - coin[itery] == 1) continue;//当硬币面值没有1时” 即可，如下：
/* @动态规划练习题 如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int DP_leastcoin(const int coin[], int money) { int *d = (int *)malloc(sizeof(int) * (money + 1)); memset(d, 0, sizeof(int) * money); int iterx = 0, itery = 0; int MIN = 0; int result = 0; d[0] = 0; for(iterx = 1; iterx <= money; iterx++) { for(itery = 0; itery < 3 && iterx >= coin[itery]; itery++) { if(iterx - coin[itery] == 1) continue;//当硬币面值没有1时 if(itery == 0) { MIN = d[iterx - coin[itery]] + 1; } else if(MIN > (d[iterx - coin[itery]] + 1)) { MIN = (d[iterx - coin[itery]] + 1); } } d[iterx] = MIN; } printf("要凑的钱 MIN "); for(iterx = 0; iterx <= money; iterx++) { printf("序号%-3d : %d ", iterx, d[iterx]); } result = d[money]; free(d); return result; } int main(void) { const int coin[3] = {2, 3, 5}; printf(" The result is %d ", DP_leastcoin(coin, 112)); return 0; }
啰啰嗦嗦的写了很多，我的表达能力有限，望见谅！此外，希望本博客对大家学习算法能有一点帮助！
ps：把硬币面值换为其他值，可能要重新分析，这个题目也可以用贪心算法实现，但是貌似贪心算法有可能求出来的是局部最优解，我对贪心算法不大会，等后续学习到了，再来讨论！