§ 4 空间直线的方程
一 空间直线的一般方程：
空间直线
可看成两平面
和
的交线.事实上，若两个相交的平面
和
的方程分别为
： 
： 
那么空间直线
上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组
(3.4-1)
反过来，如果点不在直线
上，那么它不可能同时在平面
和
上，所以它的坐标不满足方程组(3.4-1).
因此，
可用方程组(3.4-1)表示，方程组(3.4-1)叫做空间直线的一般方程.
一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就得到了空间直线的方程.
二 空间直线的对称式方程和参数方程：
若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量.显然，直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。
我们知道，过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，因此，当直线
上的一点
和它的一个方向向量
给定之后，空间直线
的位置就完全确定下来了.
下面，我们来建立这种直线的方程.
如图3-5，设
是直线
上的任一点，则 
，
而
，
故 
. (3.4-2)
反过来，如果点
不在直线
上，则
与
不平行，从而(2)式不成立.
因此，方程组(3.4-2)就是直线
的方程.称此方程为直线的对称式方程.
直线的任一方向向量
的坐标
叫做该直线的一组方向数，而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
如设 
则 
(3.4-3)
方程组(3.4-3)叫做直线的参数方程.
例1 用对称式方程及其参数方程表示直线
解 先找出这直线上的一点
，如：取 
代入方程组得
解此二元一次方程组得 
，
于是，得到直线上的一点 
.
再找该直线的一个方向向量
，由于两平面的交线与两平面的法线向量
都垂直，可取
，
因此，所给直线的对称式方程为
；
直线的参数方程为
