矩阵论基础 3.1初等变换

第一节 初等变换

 

定义1 下面三种对矩阵的变换，统称为矩阵的初等行变换

(1)互换矩阵中两行的位置如果第i, j两行互换，记作r_i«r_j;

(2)以任意数k¹0去乘矩阵的第i行所有元素，记作k r_i);

(3)把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去（其中k 为任意数），记作kr_ir_j,).

例1 设矩阵，对A施以行初等变换。

解：

从例1知，矩阵A经过初等行变换化成矩阵

我们称这种类型的矩阵为行阶梯矩阵。其特点为：每一行首位非零元素所在列的位置逐个增加，且零行在非零行下面。如

都是行阶梯矩阵。而是非行阶梯矩阵。

如果对例1中的行阶梯矩阵进一步实施行变换，可使它更加简化。

 

最后这个矩阵称为行最简型矩阵，其特点是：

（1）满足行阶梯矩阵特征，是一个行阶梯矩阵

（2）它每行中首位非零元素是1，而且首位非零元素所在列除1外，其它元素都是0，如：

都是行最简型矩阵。

对于矩阵的初等变换有如下几点说明：

（1）初等行变换可以将任意m×n 阶矩阵化为行阶梯矩阵和行最简型矩阵。

（2）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等，所以一定要用"→"来连接变换前后的矩阵。

（3）三种初等行变换都是可逆的，即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵。如

注: 三种变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类型的初等变换; 变换r_i«r_j的逆变换就是其本身; 变换r_i´k的逆变换为(或记作r_i¸k); 变换r_ikr_j的逆变换为r_i(-k)r_j(或记作r_i-kr_j).

（4）如果对行的三种变换换成对列的，同样得到对列的三种变换，分别记为c_i«c_j（对调i, j两列）；k c_i（以任意数k¹0去乘矩阵的第i列的所有元素）；kc_i c_j （第i列的k倍再加到第j列上）。这就是矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义2 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价, 记作.

如果A_n是可逆矩阵，那么A_n经过有限次的初等变换可化成单位矩阵E_n，所以，等价矩阵具有下列性质:

(i)反身性 A~A;

(ii)对称性 若A~B, 则B~A;

(iii)传递性 若A~B, B~C, 则A~C .

例2 将矩阵化为行最简型矩阵

解

所以