B样条

B样条

在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条（NURBS），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。

De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。

术语 B样条是Isaac Jacob Schoenberg创造的，是基（basis）样条的缩略

定义

给定m+1 个节点t_i ，分布在[0,1]区间，满足

$t_0 < t_1 < \ldots < t_m$

一个n次B样条是一个参数曲线：

$\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^2$

它由n次B样条基(basis B-spline)组成

$\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$ .

P_i称为控制点或de Boor点. 多边形可以通过把de Boor点用线连起来构造出来，从P₀开始，到P_n结束。这样的多边形称为de Boor多边形.

m+1个n次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式 定义

$b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix} 1 & \mathrm{} \quad t_j < t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{...} \end{matrix} \right.$

$b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).$

当节点等距，称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。

均匀B样条

当B样条是均匀的时候，对于给定的n，每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是

$b_{j,n}(t) := b_n(t + n - j) \qquad \mbox{ , } j = -1, \ldots m+1$

满足

$b_n(t) := (m+1) \sum_{i=0}^{m+1} \omega_i(t_i - t)_+^{m} \qquad \mbox{ , } t \in [0,1]$

满足

$\omega_i := \prod_{j=0, i \neq j}^{m+1} \frac{1}{t_i - t_k}$

其中

(t_i − t) ₊

是截断幂函数（truncated power function）

注解

当节点数和多项式次数相等时，B样条退化为Bezier曲线。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。

样条包含在它的控制点的凸包中

n次B样条的一个基

b_i,n(t)

仅当在区间[t_i, t_i+n+1]上非0。就是

$b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} >0 & \mathrm{} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\ 0 & \mathrm{...} \end{matrix} \right.$

换句话说，如果我们操作一个控制点，我们只改变曲线在局部的行为，而不像Bezier曲线那样是全局行为。

例子

常数B样条

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上，而且不是节点的函数。它只是不同节点段（knot span）的标志函数（indicator function）。

$b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mathrm{} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{...} \end{matrix} \right.$

线性B样条

线性B样条定义在两个相邻的节点段上，在节点连续但不可微。

$b_{j,1}(t) = \left\{\begin{matrix} \frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \mathrm{if} \quad t_j \le t < t_{1} \\ \frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \mathrm{ } \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\ 0 & \mathrm{... } \end{matrix} \right.$

三次B样条

一个片断上的B样条的表达式可以写作：

$S_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \qquad \mbox{ , } t \in [0,1]$

其中S_i是第i个B样条片断而P是一个控制点集，i和k是局部控制点索引。控制点的集合会是 $P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)$ 的集合，其中w_i是比重，当它增加时曲线会被拉向控制点P_i，在减小时则把曲线远离该点。

片段的整个集合m-2条曲线（S₃,S₄,...,S_m）由m+1个控制点（ $P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3$ ）定义，作为t上的一个B样条可以定义为

$S(t) = \sum_{i=0}^m \mathbf{P}_{i} b_{i,} (t)$

其中i是控制点数，t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合，这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。

原文：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/B%E6%A0%B7%E6%9D%A1

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定义

均匀B样条

注解

例子

常数B样条

线性B样条

三次B样条