CF468C 【Hack it!】

构造题果然都非常神仙啊

首先翻译有点问题，(L, R)的范围应该为([1, 10^{200}])

由于模数a达到了(10^{18})，所以我们可以发现，当(i<10^{18})时，(f())有一个性质：

[f(i+10^{18}) = f(i)+1 ]

我们令(g=sum_{i=1}^{10^{18}}f(i) (mod a))

于是我们有：(g+1=sum_{i=2}^{10^{18}+1}f(i) (mod a))

(g+a-g=sum_{i=a-g+1}^{10^{18}+a-g}f(i) (mod a)=0 (mod a))

所以我们可以构造出一组解为([a-g, 10^{18}+a-g+1])

于是我们现在问题就变成了求出(g)

(g=sum_{i=1}^{10^{18}-1}f(i)+1)

对于(10^{18}-1)的所有数位出现次数都是一样长的

所以答案应该为(45*)每一个数位出现多少次

这个东西就可以用数位DP组合数来求了：我们把原问题想象成：有18个空位，你可以放([0, 9])中的所有数，问(i)放了多少次

[ans=sum_{i=1}^{18}C_{18}^i*9^{18-i} ]

然后用(__int128)跑一下，答案为(45*18*10^{17}+1=81*10^{18}+1)

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a, pax = 1e18 + 1;
signed main() {
	cin >> a;
	long long l = a - pax % a * 9 % a * 9 % a, r = pax + l - 1;
	printf("%lld %lld", l, r);
	return 0;
}