有意思的问题

把遇到的有意思的问题写出来，尤其是跟数学相关的问题，目的是自我监督，尽量把代码写规范些、用的方法更好一些，否则自己写又会草草了事了。。。

目录：

1、随机数 top20均值 随机抽取20组 问题

2、可乐瓶盖收集一定能中奖 问题

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1、今天15级的群里面有个学弟提的问题：

有100个数，服从正态分布。取其中最大的20个数，求出平均值为n；如果这100个数随机不放回抽取，每5个数为一组，取最大值，直到取完100个数，得到的20个最大值，求出平均值为m。那么，n和m是什么关系？

这个问题暂时想不清，做一个实验：

#-*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

class ARandomQuetion(object):
    """docstring for ARandomQuetion"""
    def Discovery(self):
        randomnumber = np.random.randn(100)
        #注意sorted是拷贝一份排序好的序列，原序列不变，而sort就是就地修改
        srandomnumber = sorted(randomnumber)
        meanoftop20 = np.mean(srandomnumber[-20:])
        
        #返回一个随机排列，然后每隔5个数取作一组
        permutation = np.random.permutation(100)
        seq = range(0,100,5)
        pick20 = [max(randomnumber[i:i+5]) for i in seq]
        meanofpick20 = np.mean(pick20)

        return meanoftop20,meanofpick20

ARQ = ARandomQuetion()
top20 = []
pick20 = []
#作100次实验
for i in xrange(100):
    before,after = ARQ.Discovery()
    top20.append(before)
    pick20.append(after)

fig,axes = plt.subplots(1,1)
axes.plot(top20,label = 'mean of top20')
axes.plot(pick20,label = 'mean of pick20')
axes.legend(loc = 'best')
plt.show()

然而，结果并不明显。。。

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今天又想了想这个问题，可以推广一下：

top20求平均的情况下，第二种就是将100个数随机分为20组，分别取最大再求平均；top10求平均的情况下，第二种就是将100个数随机分为10组，分别取最大再求平均，等等。

那么现在问题就转换为，m与n的大小关系（或者多次试验m与n的期望之间的大小关系）和分的组数之间的关系。

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今天做了一下组数和m与n差之间的关系：

#-*- coding:utf-8 -*-
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

class ARandomQuetion(object):
    """docstring for ARandomQuetion"""
    def Discovery(self,n,num):
        randomnumber = np.random.rand(n)
        #注意sorted是拷贝一份排序好的序列，原序列不变，而sort就是就地修改
        srandomnumber = sorted(randomnumber)
        meanoftop = np.mean(srandomnumber[-num:])
        
        #返回一个随机排列，然后每隔N/num个数取作一组
        permutation = np.random.permutation(n)
        gap = int(n/num)
        seq = range(0,n,gap)
        pick = [max(randomnumber[i:i+gap]) for i in seq]
        meanofpick = np.mean(pick)
        return meanoftop,meanofpick

ARQ = ARandomQuetion()
#作100次实验
diffrence = []
N = 100
ele = [x for x in range(1,int(np.sqrt(N))) if N % x == 0]
ele2 = [int(N/x) for x in ele]
ele.extend(ele2)
ele.sort()
M = 100
for num in ele:
    result = [ARQ.Discovery(N,num) for i in xrange(M)]
    top = zip(*result)[0]
    pick = zip(*result)[1]
    diffrence.append(np.mean(np.array(top) - np.array(pick)))
print ele[np.argmax(diffrence)]
fig,axes = plt.subplots(1,1)
axes.plot(ele,diffrence)
axes.plot(ele,diffrence,'o')
axes.set_xlabel('number of groups')
axes.set_ylabel('diff of m-n')  
plt.show()

考虑到整数，只能分为[1,2,4,5,10,20,25,50,100]组。最后发现在分为50组的时候差最大。

只不过，理论上面还是没推出来暂时。

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--2016.2.23--

2、下面也是个好玩的问题，上半年一个同学发给我的。

某次买可乐集瓶盖活动中有5中不同的瓶盖以等概率出现，每买一瓶可乐可以得到一个瓶盖，那么，想集齐所有瓶盖需要买几瓶可乐？

这个问题是一个负多项分布问题。负多项分布由负二项分布推广而来。负二项分布：

实验包含一系列独立的实验， 每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到第r次成功。

其密度函数为：