3D数学提炼总结-向量、矩阵几何意义

1 向量

1.1 点-向量-二者关系

点：二维、三维空间一个点的坐标，描述位置。如a(a_x, a_y, a_z)

向量：二维、三维空间中向量描述原点到相对于某个点的位移移动，具有方向和长度(大小)属性。描述位移。如a(a_x, a_y, a_z)

向量大小：|v| = √(a²+b²+c²+…+n²)，表示向量的长度。

向量标准化：v_norm = v/|v| , v不能为零向量，如下图，对a(a_x, a_y)归一化运算：

1-1. 归一化(标准化)

关系：向量描述位移，包括相对位置。点描述位置。把向量比喻为一个箭头，头是点，尾是原点，整个向量就是点相对于原点的偏移。

1.2 零向量与负向量

零向量：[0,0,…,0]，是一个没有位移、没有方向的向量。加性单位元。

负向量：任何向量都有负向量。-[x, y, z] = [-x, -y, -z]。加性逆元。几何解释：改变方向

1.3 向量的加法、减法运算

加法几何解释一：三角形法则

1-2. 加法三角形法则

加法几何解释二：平行四边形法则

平移图1-1中绿色线至a与b的交点(不再移动a)，组成平行四边形，求半角向量，如下图：

1-3. 平半角向量

减法几何解释：一个点到另一个点的向量。

减法：先把向量转为负向量再做加法。本职还是加法，继续使用三角形法则

 

1-4. 右图对左图减法的详细拆解

1.4 标量与向量乘法：

放大k倍：k · a = k · (a_x, a_y, a_z) = (ka_x, ka_y, ka_z) 

缩小k倍： 

1.5 向量与向量乘法-点积

a·b =   ---满足交换律

点积结果返回标量值.

//unity vector3点积计算
public static float Dot(Vector3 lhs, Vector3 rhs)
{
    return (float) (
        (double) lhs.x * (double) rhs.x +
        (double) lhs.y * (double) rhs.y +
        (double) lhs.z * (double) rhs.z
    );
}

点积的几何解释一：角度

点积等于向量大小与向量的夹角：(同一平面)

a·b = |a| |b| cos θ

θ = arccos(a·b / (|a| b|) )

如果a、b是单位向量，则分母为1，简化：

θ = arccos(a·b)

 

1-5. a、b向量夹角

a·b > 0，θ∈[0°, 90°)

a·b = 0，θ = 90°

a·b > 0，θ∈(90°, 180°]

Unity实际应用方位判断

//判断a、b方位。求b在a的前后左右相对位置：
Transform a, b;
Vector3 diffVec  = a.position – b.position;
float front_back = Vector3.Dot(a.position.forward, diffVec);
float left_right = Vector3.Dot(a.position.right, diffVec);
if(front_back > 0) 前方
else 后方
if(left_right > 0) 右方
else 左方

点积的几何解释二：投影向量

1-6. 向量投影

V可以拆分：V_⊥是垂直向量，V_||是投影向量

V = V_⊥ + V_||

如何求投影向量V_||？

用三角函数求V_||的模：

带入计算求得向量V_||

 

最后也可方便求V_⊥

Unity的Vector3.Project分析：

public static Vector3 Project(Vector3 vector, Vector3 onNormal)
{
    //pow(onNormal, 2)
    float num1 = Vector3.Dot(onNormal, onNormal);
    if ((double) num1 < (double) Mathf.Epsilon)
        return Vector3.zero;
    float num2 = Vector3.Dot(vector, onNormal);
    return new Vector3(
        onNormal.x * num2 / num1,
        onNormal.y * num2 / num1,
        onNormal.z * num2 / num1
    );
}

实战如何用Vector3.Project算出V_||

1-6. 事例

求投影向量和垂直向量，以及投影交点坐标：

    public Transform m_from_p;

    //一般为法线
    public Transform m_to_p;

    //相对于from_p和to_p而言
    public Transform m_origin_p;
    private Vector3  m_projects = Vector3.zero;

    void Update()
    {
        //warning: 要统一坐标空间
        //Vector3 toP_foDirect = m_to_p.InverseTransformDirection(m_from_p.position - m_origin_p.position);
        Vector3 toP_foDirect = m_from_p.position - m_origin_p.position;
        Vector3 toP_toDirect = m_to_p.position - m_origin_p.position;
        //求出投影向量 V_ii
        m_projects           = Vector3.Project(toP_foDirect, toP_toDirect);

        //from到原点连线
        Debug.DrawLine(m_origin_p.position, m_from_p.position, Color.blue);
        //绘制投影向量线
        Debug.DrawLine(m_origin_p.position, m_origin_p.position + m_projects, Color.black);

        //投影点坐标， 对project_P求模可以知道from_p到to_p所在轴的最短距离
        Vector3 project_P    = m_origin_p.position + m_projects;

        //float minDis       = project_P.magnitude;

        //垂直向量
        Vector3 V_T          = project_P - m_from_p.position;

        //绘制垂直向量线
        Debug.DrawLine(m_from_p.position, m_from_p.position + V_T.normalized * 100f, Color.green);
    }

如

果一个向量v在自身投影，就是v·v = v_x² + v_y² + v_z² = |v|²，继而可以求出v的模

1.6 向量与向量乘法-叉积

向量a与向量b的叉积结果向量n，n垂直于向量a与b组成的平面，可把其看作平面法线。

1-7. 叉乘示意图

1-8. 叉积计算公式

几何解释一：平行四边形面积

几何解释二：顺时针和逆时针方向

a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2);

//a x b = (y1 * z2 - y2 * z1, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)
double ans = (y1 * z2 - y2 * z1)+(z1 * x2 - x1 * z2)+( x1 * y2 - y1 * x2)

if(ans>0)
    cout<<"逆时针"<<endl;
if(ans<0)
    cout<<"顺时针"<<endl;
if(ans==0)
    cout<<"共线"<<endl;

几何dot、cross：求点到点的角度

    // 通过 Dot、Cross 结合获取到 a 到 b， b 到 a 的不同夹角
    private void GetAngle(Vector3 a, Vector3 b)
    {

        /*ab叉积求得时针方向，点积求得*/

        Vector3 c = Vector3.Cross(a, b);
        float angle = Vector3.Angle(a, b);//只能返回[0°, 180°]

        // b 到 a 的夹角
        float sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(a.normalized, b.normalized)));
        float signed_angle = angle * sign;

        Debug.Log("b -> a :" + signed_angle);

        // a 到 b 的夹角
        sign = Mathf.Sign(Vector3.Dot(c.normalized, Vector3.Cross(b.normalized, a.normalized)));
        signed_angle = angle * sign;

        Debug.Log("a -> b :" + signed_angle);
    }

shader中叉积计算写法

//shader中叉积计算写法

float crossProduct = a.yzx * b.zxy - a.zxy * b.yzx;

2 矩阵

行矩阵

M_1m =

列矩阵

M_1m^T = M_m1

对角矩阵

也是方块矩阵，行与列相同

除了对角线以外的元素都为0，称为方块矩阵

单位矩阵-一种特殊的对角矩阵

默认用 I 表示单位矩阵

对角线元素全为1，其余元素都为0

任何矩阵与单位矩阵相乘，结果任为其本身

转置矩阵---转置运算

• M_ij^T = M_ji
• 矩阵的行变为列，列变为行
• (A·B)^T = B^T·A^T，具有反向串接各矩阵

 

逆矩阵

• 必须为方阵才有逆矩阵行列相等(n=m)
• M^-1·M = I                      //必须满足
• (M^-1)^-1 = M                 
• I^-1 = I                          //单位矩阵的逆矩阵=自身
• (M^T)^-1 = (M^-1)^T             //转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵的转置
• (A·B·C)^-1 = C^-1 ·B^-1·A^-1//反向串接各矩阵

Unity提供了相关的矩阵函数

 

正交矩阵

• M·M^T = M^T·M = I
• 任何正交矩阵行列式值：|A|= 1或 -1
• 

 

线性变换

缩放、旋转、平移

缩放：

只需要改变单位矩阵对角线元素值，(其中w分量为1）===> 目标矩阵(行矩阵)·S(q)

 

旋转：  

平移一： 

平移二：T(p) =

基础变换矩阵： 

把M_3x3看作缩放旋转，t_3x1看作平移，1为w分量

将一个矩阵进行缩放、旋转、平移的复合变换先后顺序不一样，其结果也不一样。绝大多数情况下都是采用前述顺序。

 

矩阵的几何意义

为了进一步研究多元方程组，将多元方程组的系数组合在一个矩形数表，形成了矩阵。例如把三元方程组转化为三阶矩阵

例如，已知子坐标空间C的3个坐标轴在父坐标空间P下的表示x_c, y_c, z_c，以及其原点位置O_c。当给定一个子坐标空间中的一点A_c = (a,b,c),按照下面4个步骤求出A_c在父坐标空间下的位置。

1从坐标空间原点开始O_c

2向x轴方向移动x个单位：O_c + axc

3向y轴方向移动y个单位：O_c + ax_c + by_c

4向z轴方向移动z个单位：O_c + ax_c + by_{c +} cz_c

A_p = O_c + ax_c +by_c + cz_c

= (x_oc, y_oc ,z_oc) + a(x_xc, y_xc, z_xc) + b(x_yc , y_yc, z_yc) + c(x_zc, y_zc, z_zc)

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc) +  

= (x_oc, y_oc ,z_oc,1) +  

=     //笔误：O₃₃应该=1

=  

=  

M_A->p =

 

透视投影矩阵：

近裁剪面高度：

远裁剪面高度：

横纵比：摄像机的ViewPortRect中的W和H属性决定着Game视图横纵比

计算某一点是否在裁剪区域内，只需将该点与，由观察空间变换到裁剪空间。

=

注意此时的W分量，可能<0为负数。如果一个点在视锥体内，必须满足

 

正交投影矩阵

 

近裁剪面高度：

远裁剪面高度：

横纵比：

那么将顶点带入该矩阵相乘：

=

判断条件如下

法线变换

有M_A->B 顶点变换矩阵, N是法线，T是切线, G是法线变换矩阵

根据点积性质变换前垂直：(T_A)^T·N_A = 0

变换后也应该垂直：(T_A->B)^T·N_A->B = 0

切线公式：T_B = (M_A->B · T_A)^T

切线变换步骤：

T_B · N_B = (M_A->B · T_A)^T ·(G · N_A)

= (T_A)^T ·M_A->B^T·(G · N_A)  = (T_A)^T · N_A ·(M_A->B^T·G)

由于T_A^T·N_A = 0

如果(M_A->B^T·G) = 0，G = (M_A->B^-1)^T

如果M_A->B是正交矩阵，变换包含旋转和系数k统一缩放，M_A->B的逆转置矩阵 = (M_A->B^T)^-1 = (M_A->B^-1)^T

如果M_A->B是正交矩阵，变换包含旋转和系数k统一缩放，则(M_A->_B)^-1=, 简要推导如下

设M_A->_B = k·M(M为正交矩阵)，

等式左边：(M_A->_B)^-1=(K·M)^-1 = 1/k · M^-1

等式右边：1/K² · (K·M)^T = 1/k² · k · M^T = 1/K · M^-1

如果M_A->B是正交矩阵，变换包含旋转和系数k统一缩放，可得M_A->B的逆转置矩阵  (M_A->B^T)^-1 =