扔鸡蛋问题

标签： 算法

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初始问题：在100层楼里，给定2个鸡蛋，在安全楼层以上的楼扔鸡蛋会碎。设计一种方案，测试哪层楼是最高安全楼层，要求测试次数最少。

思路：这是典型的动态规划问题。

　　假设(f[n])表示从(n)层楼找到摔鸡蛋不碎安全楼层的最少判断次数。
　　假设第一个鸡蛋第一次从第(i)层扔下，
　　如果碎了，说明安全楼层低于(i)。剩一个鸡蛋，为确定(i-1)下面楼层中的安全楼层，必须从第一层挨着试直到(i-1)层，还需要扔(i-1)次鸡蛋；
　　如果不碎的话，说明安全楼层高于(i)。问题转化为，在以第(i+1)层为地面的(n-i)层楼里找安全楼层，还有两个鸡蛋，即还需要扔(f[n-i])次鸡蛋。
　　因此，在上述两种情况中，最差情况是扔(1 + max(i-1,f[n-i]))次鸡蛋。

状态转移方程: $$f[n] = min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n }$$
初始条件: $$f[0]=0, f[1]=1$$

代码实现

//@num 层数
public static int dropEgg(int num){
	int []dp = new int[num + 1];
	
	dp[0] = 0;
	dp[1] = 1;
		
	for (int n = 2; n <= num; n++) {
		int min = Integer.MAX_VALUE;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int max = Math.max(i - 1, dp[n - i]) + 1;
			if(max < min) min = max;
		}
		dp[n] = min;
	}
	return dp[num];
}

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问题扩展：(n)层楼与(m)个鸡蛋的问题。

　　假设(f[n,m])表示(n)层楼、(m)个鸡蛋情况下，找到摔鸡蛋不碎的安全楼层的最少判断次数。
　　假设一个鸡蛋从第(i)层扔下，
　　如果碎了，还剩(m-1)个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要扔(f[i-1,m-1])次鸡蛋；
　　如果不碎，上面还有(n-i)层，还需要扔(f[n-i,m])次鸡蛋。
　　因此，在上述两种情况中，最差情况是扔(1 + max(f[i-1,m-1],f[n-i,m]))次鸡蛋。

状态转移方程：$$f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n }$$
初始条件：$$f[i,0]=0,f[i,1]=i$$

//@num 层数
//@egg 鸡蛋数
public static int dropEgg(int num, int egg) {
	int[][] dp = new int[num + 1][egg + 1];
	
	for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
		dp[i][0] = 0;
		dp[i][1] = i;
	}

	for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
		dp[0][i] = 0;
		dp[1][i] = 1;
	}

	for (int n = 2; n <= num; n++) {
		for (int m = 2; m <= egg; m++) {
			int min = num;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				int max = Math.max(dp[i - 1][m - 1], dp[n - i][m]) + 1;
				if (max < min)
					min = max;
			}
			dp[n][m] = min;
		}
	}
	return dp[num][egg];
}

回到初始问题，怎么设计这个扔鸡蛋方案呢？

　　我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为(x)，即我们为了找出(N)，一共用鸡蛋做了(x)次的实验。
　　那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？
　　先让我们假设第一次是在第(y)层楼扔的鸡蛋，如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出(N)，只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。
　　由于第一个鸡蛋在第(y)层就摔破了，所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第(1)到第(y-1)层的楼都测试一遍才得出结果。
　　这样一来测试次数是(1+(y-1)=x)，即第一次测试要在第x层。
　　那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那(N)肯定要比(x)大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？
　　如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了，那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下(x-2)次了(第一个鸡蛋用了2次)。
　　这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着(x-2)层。我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第(x)层，第1层到第(x)层间共(x)层；第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有(x-1)层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)，同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有(x-2)层……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

[x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100 ]

[(x+1)*x/2 >= 100 ]

得出(x=14)。

即测试序列为14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100。