LOJ#500. 「LibreOJ β Round」ZQC 的拼图

Description

ZQC 和他的妹子在玩拼图。她们有 (n(1 leq n leq 100)) 块神奇的拼图，还有一块拼图板。拼图板是一个的 (m imes m(1le mle 100)) 正方形网格，每格边长为 (1)，如图所示。每块拼图都是直角三角形，正面为白色，反面为黑色，拼图放在拼图板上时，必须正面朝上，直角顶点必须与拼图板上的一个格点重合，两条直角边分别向左和向下。拼图可以重叠在一起。拼图的左下部分可以超过拼图板的边界，如图所示。

这些拼图有一个好，就是能伸缩，当然，拼图伸缩是要按基本法来的，具体说来就是：你可以选择一个正整数 (k) ，使所有拼图的每条边长都变成原来的 (k) 倍。

妹子摆好拼图后，ZQC 需要控制一个小人从拼图板的左下角跑到右上角，小人路线上的任何一点（包括端点）都要在某块拼图板上（边界或顶点也可以），现在 ZQC 想知道他的妹子最少要把拼图的边长扩大到原来的几倍才存在一种摆放方式使得他能找到这样一条路线。

为了区分不同的拼图板，图中给他们染了不同的颜色。右图中紫色的线表示小人的一条路线。

Input

第一行两个正整数 (n) 和 (m) 表示有 (n) 块拼图，拼图板边长为 (m) 。
接下来 (n) 行包含两个正整数 (a_i, b_i (1leq a_i, b_ileq10^6)) ，表示第 (i) 块拼图初始时的水平直角边长为 (frac{1}{a_i}) ，垂直直角边长为 (frac{1}{b_i}) 。

Output

输出一行一个整数 (k) 表示拼图的边长最少要扩大到原来的 (k) 倍。

Solution

二分答案 + dp。

考虑怎么 check 。(f[i][j]) 表示前 (i) 个三角形，在竖直方向覆盖了 (j) ，水平方向最多能覆盖多少。如果 (f[n][m]ge m) 则成立。转移见代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 101
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)

inline int read() {
	int x = 0, flag = 1; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') flag = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; return x * flag;
}

int n, m, a[N], b[N], f[N][N];

inline bool check(int mid) {
	memset(f, 128, sizeof f), f[0][0] = 0;
	rep(i, 1, n) rep(j, 0, min(mid / b[i], m)) { //枚举当前三角形的水平边与上一个三角形水平边的距离 
		int x = floor(1.0 * b[i] / a[i] * (1.0 * mid / b[i] - 1.0 * j));
		rep(k, j, m) f[i][k] = max(f[i][k], f[i - 1][k - j] + x);
	}
	return f[n][m] >= m;
}

int main() {
	n = read(), m = read();
	rep(i, 1, n) a[i] = read(), b[i] = read();
	int L = 1, R = 1e8, ans;
	while (L <= R) {
		int mid = L + R >> 1;
		if (check(mid)) R = mid - 1, ans = mid;
		else L = mid + 1;
	}
	cout << ans; 
	return 0;
}