USACOMoney Systems

来源：http://ace.delos.com/usacoprob2?a=pazq26JBLUl&S=money

简单的背包问题

把题目再描述一遍：给出V种货币面值，和需要构造的金额数N，问有多少种构造方法。

1.这里涉及货币的种类和金额数两个量，所以状态的表示要有这两个量；

2.设F[i][j]表示用前i种货币构造金额为j的构造方法数，则：

             F[i][j]=F[i-1][j]+F[i][j-w[i]]

即用与不用货币i的问题

初始化：F[k][w[k]]=1，这个初始化可以放在循环外边，不过这样就要在循环内把这个加一次；也可以放在循环内部。

当然，空间上还可以再优化，具体可以参照DD大牛的《背包九讲》

这是未优化空间的：

/*
ID:ay27272
PROG:money
LANG:C++
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int f[30][10005]={0},w[30]={0};

int main()
{
    freopen("money.in","r",stdin);
    //freopen("money.out","w",stdout);
    int v,n;
    cin>>v>>n;
    for (int i=1;i<=v;i++)
        cin>>w[i];

    for (int i=1;i<=v;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
        if (j>w[i])
            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-w[i]];
        else if (j==w[i]) f[i][j]=f[i-1][j]+1;
        else f[i][j]=f[i-1][j];
    cout<<f[v][n]<<endl;

    return 0;
}

这是空间优化的代码，很简洁，并且你可以用另一种方式理解这个代码，这是我的新理解：

把题目再描述一遍：给出V种货币面值，和需要构造的金额数N，问有多少种构造方法。

我们知道，要构造的金额为N，则它必从N-w[k]中构造来的，在方程中，我们只需关心，我们构造的当前金额数，是怎样从之前已经构造好的金额数中，转移过来，

所以，设F[i]为金额为i时的构造方法数，则它必从F[i-w[k]]中通过添加货币k得到的，所以转移方程是：

F[i]=∑F[i-w[k]]             (k=1…V)

初始化F[w[k]]=1

当然，与上面一样，初始化可以放在循环内也可以在循环外，自己喜欢吧。

/*
ID:ay27272
PROG:money
LANG:C++
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int f[10005]={0},w[30]={0};

int main()
{
    freopen("money.in","r",stdin);
    freopen("money.out","w",stdout);
    int v,n;
    cin>>v>>n;
    for (int i=1;i<=v;i++)
        cin>>w[i];

    for (int i=1;i<=v;i++)

{

    f[w[i]]++;for (int j=w[i]+1;j<=n;j++)
            f[j]+=f[j-w[i]];

}        
    cout<<f[n]<<endl;

    return 0;
}