经典问题：二维偏序。给定平面中的n个点，求每个点左下方的点的个数。
因为 所有点已经以y为第一关键字，x为第二关键字排好序，所以我们按读入顺序处理，仅仅需要计算x坐标小于<=某个点的点有多少个就行。
这就是所说的：n维偏序，一维排序，二维树状数组，三维 分治 Or 树状数组套平衡树……
<法一>树状数组。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 struct POINT 6 { 7 int x,y; 8 }; 9 int n,d[3200001],ji[1500001],m; 10 POINT star[1500001]; 11 bool cmp(const POINT &a,const POINT &b) 12 { 13 if(a.x<b.x) 14 return true; 15 else if(a.x>b.x) 16 return false; 17 else if(a.y<b.y) 18 return true; 19 return false; 20 } 21 int lowbit(int x) 22 { 23 return x&(-x); 24 } 25 void update(int x,int delta) 26 { 27 for(;x<=m;x+=lowbit(x)) 28 d[x]+=delta; 29 } 30 int getsum(int x) 31 { 32 int res=0; 33 for(;x>0;x-=lowbit(x)) 34 res+=d[x]; 35 return res; 36 } 37 int main() 38 { 39 scanf("%d",&n); 40 for(int i=1;i<=n;i++) 41 { 42 scanf("%d%d",&star[i].x,&star[i].y); 43 star[i].y++; 44 m=max(m,star[i].y); 45 } 46 for(int i=1;i<=n;i++) 47 { 48 update(star[i].y,1); 49 ji[getsum(star[i].y)-1]++; 50 } 51 for(int i=0;i<n;i++) 52 printf("%d ",ji[i]); 53 return 0; 54 }
<法二>权值分块。我会说比树状数组还快将近一倍？
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 int n,x[15001],y[15001],LIMIT,r[200],l[200],num[33000],sumv[200],sz,sum,rank[33000],b[33000]; 6 void makeblock() 7 { 8 sz=(int)sqrt((double)LIMIT); if(!sz) sz=1; r[0]=-1; 9 for(sum=1;sum*sz<LIMIT;sum++) 10 { 11 l[sum]=r[sum-1]+1; 12 r[sum]=sum*sz; 13 for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum; 14 } 15 l[sum]=r[sum-1]+1; 16 r[sum]=LIMIT; 17 for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum; 18 } 19 int query(const int &V) 20 { 21 int cnt=0; 22 for(int i=1;i<num[V];i++) cnt+=sumv[i]; 23 for(int i=l[num[V]];i<=V;i++) cnt+=b[i]; 24 ++b[V]; ++sumv[num[V]]; 25 return cnt; 26 } 27 int main() 28 { 29 scanf("%d",&n); 30 for(int i=1;i<=n;i++) 31 { 32 scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); 33 LIMIT=max(LIMIT,x[i]); 34 } makeblock(); 35 for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(x[i])]; 36 for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",rank[i]); 37 return 0; 38 }
<法三>再介绍一种方便扩展到三维的方法。我们不用按x或者y单调插入。
我们发现，二维偏序实际上是二维树状数组的经典操作。
但是二维BIT的空间复杂度无法接受。
但是我们发现，将一维离散化之后，使其按权值单调，树状数组套平衡树 可以轻松查询 x、y同时小于等于一个点的点的个数。 空间复杂度O(n*log(n)) 时间复杂度O(n*log^2(n))。
然后我们又发现，这同样也是分块的经典操作。 空间复杂度O(n) 时间复杂度O(n*sqrt(n*log(n)))。 注意分块的时候，我们为了保证块的形态，要先按一维sort，然后每sqrt(n*log(n))个点分成一块，不能按权值分块。
分块姿势①
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<vector> 4 #include<cmath> 5 using namespace std; 6 vector<int>b[200]; 7 struct Point{int x,y,num;}p[33000]; 8 vector<Point>a[200]; 9 int n,R,L,sum,l[200],r[200],sz,rank[33000]; 10 void makeblock() 11 { 12 sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=1; 13 for(sum=1;sum*sz<n;sum++) 14 { 15 int R=sum*sz; 16 for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=R;i++) p[i].num=sum; 17 } 18 for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=n;i++) p[i].num=sum; 19 } 20 void update(const Point &U) 21 { 22 b[U.num].insert(upper_bound(b[U.num].begin(),b[U.num].end(),U.x),U.x); 23 a[U.num].push_back(U); 24 } 25 int query(const Point &U) 26 { 27 int cnt=0; 28 for(int i=1;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin(); 29 for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it) 30 if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt; 31 return cnt; 32 } 33 int main() 34 { 35 scanf("%d",&n); 36 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); 37 makeblock(); 38 for(int i=1;i<=n;i++) update(p[i]); 39 for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-1]; 40 for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",rank[i]); 41 return 0; 42 }
分块姿势②
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<vector> 4 #include<cmath> 5 using namespace std; 6 vector<int>b[200]; 7 struct Point{int x,y,num;}p[33000]; 8 vector<Point>a[200]; 9 int n,R,L,l[200],r[200],rank[33000]; 10 void makeblock() 11 { 12 int sum,sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=1; 13 for(sum=1;sum*sz<n;sum++) 14 { 15 int R=sum*sz; 16 for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=R;i++) 17 { 18 p[i].num=sum; 19 b[sum].push_back(p[i].x); 20 a[sum].push_back(p[i]); 21 } 22 sort(b[sum].begin(),b[sum].end()); 23 } 24 for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=n;i++) 25 { 26 p[i].num=sum; 27 b[sum].push_back(p[i].x); 28 a[sum].push_back(p[i]); 29 } 30 sort(b[sum].begin(),b[sum].end()); 31 } 32 int query(const Point &U) 33 { 34 int cnt=0; 35 for(int i=1;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin(); 36 for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it) 37 if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt; 38 return cnt; 39 } 40 int main() 41 { 42 scanf("%d",&n); 43 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); 44 makeblock(); 45 for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-1]; 46 for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",rank[i]); 47 return 0; 48 }