• LOJ6538 烷基计数


    烷基计数

    现在已知碳原子个数 (n),求对应的烷基有多少种同分异构体。

    注意:这里的烷基计数不用考虑空间异构,能否稳定存在等各种特殊情况。也就是说,你要求的是 (n) 个点的每个点度数不超过 (4) 且根的度数不超过 (3) 的有根树的数目

    答案对 (998244353) 取模。

    题解

    https://jkloverdcoi.github.io/2019/12/19/Loj-6538-烷基计数-加强版-加强版/

    记答案的生成函数为 (F(x))。直接 (F(x)=1+xF(x)^3) 显然是错的,因为可能出现同构的情况。

    考虑 Burnside 引理,对 (3) 个儿子的置换有 (6) 种。

    对于 ((1,2,3)​)(1​) 种置换,每种方案都是不动点。

    对于 ((1,3,2),(3,2,1),(2,1,3))(3) 种置换,只有在置换中成环的两棵子树相同的方案才是不动点。

    对于 ((2,3,1),(3,1,2))(2​) 种置换,只有三棵子树都相同的方案才是不动点。

    根据 Burnside 引理,本质不同的方案数是各个置换的不动点数目平均数,得到

    [F(x)=1+xfrac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6} ]

    考虑牛顿迭代解出这个方程,设 (G(F(x))=xfrac{F(x)^3+3F(x^2)F(x)+2F(x^3)}{6}-F(x)+1)

    若当前已知了 (F(x)mod x^n),要求出 (F(x)mod x^{2n}),可以发现 (F(x^2)mod x^{2n},F(x^3)mod x^{2n}) 也已知了。

    于是可以直接把它们看做常量,记 (A(x)=F(x^2)mod x^{2n},B(x)=F(x^3)mod x^{2n})

    注意是对 (F(x)​) 求导,所以 (x​) 也可以看做常量。

    得到 (G’(F(x))=xfrac{3F(x)^2+3A(x)}{6}-1),代入牛顿迭代公式 (F(x)=F_0(x)-frac{G(F_0(x))}{G’(F_0(x))})

    [F(x)=F_0(x)-frac{x(F_0(x)^3+3A(x)F_0(x)+2B(x))-6F_0(x)+6}{x(3F_0(x)^2+3A(x))-6} ]

    时间复杂度 (O(nlog n)​)

    CO int N=262144;
    int omg[2][N],rev[N];
    
    void NTT(poly&a,int dir){
    	int lim=a.size(),len=log2(lim);
    	for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
    	for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    	for(int i=1;i<lim;i<<=1)
    		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
    			int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
    			a[j+k+i]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
    		}
    	if(dir==1){
    		int ilim=fpow(lim,mod-2);
    		for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
    	}
    }
    poly operator~(poly a){
    	int n=a.size();
    	poly b={fpow(a[0],mod-2)};
    	if(n==1) return b;
    	int lim=2;
    	for(;lim<n;lim<<=1){
    		poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
    		c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
    		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
    		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
    		NTT(b,1),b.resize(lim);
    	}
    	a.resize(lim<<1),NTT(a,0);
    	b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
    	for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(a[i],b[i]),b[i]);
    	NTT(b,1),b.resize(n);
    	return b;
    }
    poly operator*(poly a,poly b){
    	int n=a.size()-1,m=b.size()-1;
    	int lim=1<<(int)ceil(log2(n+m+1));
    	a.resize(lim),NTT(a,0);
    	b.resize(lim),NTT(b,0);
    	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
    	NTT(a,1),a.resize(n+m+1);
    	return a;
    }
    
    poly solve(int n){
    	poly f={1};
    	if(n==1) return f;
    	for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
    		f.resize(lim);
    		poly a(lim),b(lim);
    		for(int i=0;i<lim;i+=2) a[i]=f[i/2];
    		for(int i=0;i<lim;i+=3) b[i]=f[i/3];
    
    		poly up=f*f;up.resize(lim);
    		for(int i=0;i<lim;++i) up[i]=add(up[i],mul(3,a[i]));
    		up=up*f,up.resize(lim);
    		for(int i=0;i<lim;++i) up[i]=add(up[i],mul(2,b[i]));
    		for(int i=lim-1;i>=1;--i) up[i]=up[i-1];
    		up[0]=0;
    		for(int i=0;i<lim;++i) up[i]=add(up[i],mod-mul(6,f[i]));
    		up[0]=add(up[0],6);
    
    		poly down=f*f;down.resize(lim);
    		for(int i=0;i<lim;++i) down[i]=add(mul(3,down[i]),mul(3,a[i]));
    		for(int i=lim-1;i>=1;--i) down[i]=down[i-1];
    		down[0]=mod-6;
    
    		up=up*~down,up.resize(lim);
    		for(int i=0;i<lim;++i) f[i]=add(f[i],mod-up[i]);
    	}
    	f.resize(n);
    	return f;
    }
    int main(){
    	omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
    	omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
    	for(int i=2;i<N;++i){
    		omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
    		omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
    	}
    	int n=read<int>();
    	poly f=solve(n+1);
    	printf("%d
    ",f[n]);
    	return 0;
    }
    
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