二阶常系数线性齐次递推式的特征方程

参照liuzibujian的博客。

问题

已知(f(n)=c_1∗f(n−1)+c_2∗f(n−2))（(c_1,c_2) 是常数），已知(f(0))和(f(1))，求(f(n))的通项公式。

结论

先求出上面递推式的特征方程：(x^2-c_1x-c_2=0)（式子有点像解(n)次方程）。设两根分别为(x_1,x_2)。
若(x_1≠x_2)，则(f(n)=A*x_1^n+B*x_2^n)
若(x1=x2)，则(f(n)=(A+B∗n)∗x_1^n) 。（(A)和(B)可通过(f(0))和(f(1))求出）

例题

已知(f(n)=4f(n-1)-3f(n),f(0)=3,f(1)=5),求(f(n))的通项公式。
解：
特征方程为：(x^2-4x+3=0)
(x_1=1,x_2=3)
(ecause x_1 e x_2)
( herefore f(n)=A+B*3^n)
当(n=0)时，(3=A+B)；当(n=1)时，(5=A+3B)
解得(A=2,B=1)
( herefore f(n)=3^n+2)

证明

我们可以把递推式转化成一个类似等比数列的东西。
设

[f(n)-r*f(n-1)=s(f(n-1)-r*f(n-2)) ]

则

[f(n)=(s+r)*f(n-1)-r*s*f(n-2) ]

可得(s+r=c_1,s*r=-c_2)
根据韦达定理，(s)和(r)是(x^2-c_1x-c_2=0)的两根
(x^2-c_1*x-c_2=0)称为该递推式的特征方程，两根分别为(x_1,x_2)
不妨设(x_1=r,x_2=s)，则(frac{f(n)-x_1*f(n-1)}{f(n-1)-x_1*f(n-2)}=x_2)
设

[f(1)-x_1*f(0)=a ]

则

[f(2)-x_1*f(1)=a*x_2 \ dots \ f(n-2)-x_1*f(n-3)=a*x_2^{n-3}① \ f(n-1)-x_1*f(n-2)=a*x_2^{n-2}②\ f(n)-x_1*f(n-1)=a*x_2^{n-1}③\ ]

(③+x_1*②)得：

[f(n)-x_1^2*f(n-2)=a*x_2^{n-1}+a*x_1*x_2^{n-2}④ ]

(④+x_1^2*①)得：

[f(n)-x_1^3*f(n-3)=a*x_2^{n-1}+a*x_1*x_2^{n-2}+a*x_1^2*x_2^{n-3} ]

发现规律了吗？

[f(n)-x_1^n*f(0)=a*(x_2^{n-1}+x_1*x_2^{n-2}+x_1^2*x_2^{n*3}+dots+x_1^{n-2}*x_2+x_1^{n-1}) \ =a*sum_{i=1}^n(x_1^{n-1}*(frac{x_2}{x_1})^{i-1}) ]

(sum_{i=1}^n(x_1^{n-1}*(frac{x_2}{x_1})^{i-1}))可以看成是以(x_1^{n-1})为首项，(frac{x_2}{x_1})为公比的等比数列的前(n)项的和。

在运用等比数列求和公式之前一定要讨论公比是否为(1)，接下来开始讨论：

1. 当(x_1 e x_2)时：

[sum_{i=1}^n(x_1^{n-1}*(frac{x_2}{x_1})^{i-1}) \ = x_1^{n-1}*frac{(frac{x_2}{x_1})^n-1}{frac{x_2}{x_1}-1} = frac{x_2^n-x_1^n}{x_2-x_1} ]

所以有

[f(n)=x_1^n*f(0)+a*sum_{i=1}^n(x_1^{n-1}*(frac{x_2}{x_1})^{i-1}) \ =(f(0)-frac{a}{x_2-x_1})*x_1^n+frac{a}{x_2-x_1}*x_2^n ]

令(A=f(0)-frac{a}{x_2-x_1},B=frac{a}{x_2-x_1})，则有

[f(n)=A*x_1^n+B*x_2^n ]

该情况证明完毕。
2. 当(x_1=x_2)时

[sum_{i=1}^n(x_1^{n-1}*(frac{x_2}{x_1})^{i-1}) \ = a*n*x_1^{n-1} ]

所以有

[f(n)=a*n*x_1^{n-1}+x_1^n*f(0)=(frac{a*n}{x_1}+f(0))*x_1^n ]

令(A=f(0),B=frac{a}{x_1})，则有

[f(n)=(A+B*n)*x_1^n ]

至此，命题证明完毕。

应用

求斐波那契数列的通项公式
(f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=1)
根据特征方程：(x^2-x-1=0)

[x_1=frac{sqrt{5}+1}{2},x_2=frac{sqrt{5}-1}{2} ]

那么，(f(n)=A*x_1^n+B*x_2^n)
带入(f(0)=1,f(1)=1)，得：(A=frac{sqrt{5}}{5},B=-frac{sqrt{5}}{5})
整理得：(f(n)=frac{1}{sqrt{5}}left((frac{sqrt{5}+1}{2})^n-(frac{sqrt{5}-1}{2})^n ight))