【解题报告】2019正睿Day4

path

考虑直接在 DFS 整棵树的过程中构造哈密尔顿回路。

先考虑如果是一条链怎么构造，我们可以隔一个跳一下，就像这样：

那么这样构造我们只需要用到距离不超过 2 的边，所以直接拓展到树上即可：如果当前节点深度是奇数，那么我们在 DFS 前输出这个点，否则在 DFS 完所有孩子之后再输出这个点。容易验证这样构造是对的。

时间复杂度： $Θ(n)$。

magic

首先，使用 KMP 算法对于每个 Ti，求出它在 S 中的匹配位置，那么这些位置中至少得要挖掉一个。

于是对于每个 i，我们可以求出一个 Li，表示 [Li, i] 之间必须要挖掉至少一个。

然后我们考虑 DP，设 fi 表示最后一个挖掉的位置是 i 的最小代价，那么转移时枚举上一个挖掉的位置即可做到时间复杂度 $Θ(n^2)$。

考虑优化。注意到我们在转移时一定是整体转移，而每次可能非法化一个前缀。因此，如果我们不再进行非法化，那么可以转移的区间就是原序列的一个后缀，因此我们可以变为后缀查询最小值、单点修改。直接使用树状数组维护即可。

时间复杂度： $Θ (nlog_2n+∑_{i=1}^m(|S| + |Ti|))$。

inter

可以发现 u, v 是独立的。我们等价于要求：在 u 的子树中选 k 个点使它们两两LCA 是 u 的方案数，对 v 也求同样的东西，再把两者相乘就是最后的答案了。

如果 u, v 存在祖孙关系，不妨设 u 是 v 的祖先，那么 u 的子树就要改为以 v 的方向作为根方向前提下的子树。

显然为了使两两 LCA 是 u，在 u 的每一个儿子中就至多只能选一个点。于是我们做一个背包，就可以得到以 u 作为根的时候选择 k ≤ L 个点的方案数，然后选择 u的方案直接枚举 u 被选了多少次，做一个组合数即可。

但是我们这样求出的是以 u 为根的方案数，其中可能会有的点选在了 u → v 的方向上，这样就不满足条件了。

考虑这个背包的实质，可以发现他求的是下列生成函数的 xk 项的系数：

那么我们现在要求的是不在 v 方向的多项式 Pu,v(x)，他的式子如下：

则可以发现 Pu,v(x) 就是 Pu(x) 除掉一个 (1 + sizew · x) 之后的结果，其中 w 是u 在 v 方向的出边。可以发现，多项式除以单项式其实就是背包的过程倒过来，直接做就可以做到线性复杂度。

时间复杂度： $Θ((n + q)L + qk)$。