图论$cdot$最短路问题

• Dijkstra单源最短路径算法

Dijkstra可以计算出发点到每个点的最短路，及单源最短路径（SSSP）。这一特点使得Dijkstra常常用来进行其他算法的预处理。用Dijkstra算法计算最短路的代码如下：

注：代码注释参见《算法竞赛入门经典——训练指南》（刘汝佳）

struct Dijkstra{
    int n, m;
    vector<E> e;
    vector<int> G[maxn];
    bool done[maxn];
    int d[maxn];
    int p[maxn];
    void init(int n){
        this->n = n;
        FOR(i, 0, n - 1) G[i].clear();
        e.clear();
    }
    void addE(int from, int to, int dist){
        e.pb(E(from, to, dist));
        m = e.size();
        G[from].pb(m - 1);
    }
    void dijkstra(int s){
        priority_queue<HeapNode> Q;
        FOR(i, 0, n - 1) d[i] = int_inf;
        d[s] = 0;
        clr(done, 0);
        Q.push(HeapNode(0, s));
        while(!Q.empty()){
            HeapNode x = Q.top(); Q.pop();
            int u = x.u;
            if(done[u]) continue;
            done[u] = 1;
            int sz = G[u].size();
            FOR(i, 0, sz - 1){
                E &y = e[G[u][i]];
                if(d[y.to] > d[u] + y.dist){
                    d[y.to] = d[u] + y.dist;
                    p[y.to] = G[u][i];
                    Q.push(HeapNode(d[y.to], y.to));
                }
            }
        }
    }
};

•  Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法的一个重要应用是判负圈。在迭代$n-1$次后如果还可以进行松弛（relax）操作，说明一定存在负圈。如果采用队列实现，那么当某个结点入队了$n$次时可以判断出存在负圈，代码如下：

struct Bellman_Ford{
    int n, m;
    vector<E> e;
    vector<int> G[maxn];
    bool inq[maxn];
    int d[maxn];
    int p[maxn];
    int cnt[maxn];
    void init(int n){
        this->n = n;
        FOR(i, 0, n - 1) G[i].clear();
        e.clear();
    }
    void addE(int from, int to, int dist){
        e.pb(E(from, to, dist));
        m = e.size();
        G[from].pb(m - 1);
    }
    bool negCyc(){
        queue<int> Q;
        clr(inq, 0), clr(cnt, 0);
        FOR(i, 0, n - 1) d[i] = 0, inq[i] = 1, Q.push(i);
        while(!Q.empty()){
            int u = Q.front(); Q.pop();
            inq[u] = 0;
            int sz = G[u].size();
            FOR(i, 0, sz - 1){
                E &y = e[G[u][i]];
                if(d[y.to] > d[u] + y.dist){
                    d[y].to = d[u] + y.dist;
                    p[e.to] = G[u][i];
                    if(!inq[y.to]){
                        Q.push(y.to);
                        inq[y.to] = 1;
                        if(++cnt[y.to] > n) return 1;
                    }
                }
            }
        }
        return 0;
    }
};