4.1.3 Euclid's Game (POJ 2348)

Problem description:

  以辗转相除法为基础，给定两个整数a和b，Stan和Ollie轮流从较大的数字中减去较小数字的倍数（整倍数），并且相减后的结果不能为零。Stan先手，在自己的回合将其中一个数变为零的一方获胜，当双方都采取最优策略时，谁会获胜？

a,b都是正整数。

Input:

a=34 b=12

Output:

Stan wins

找规律：

　　首先，如果a>b则交换，假设a<b。另外，如果b已经是a的倍数则必胜，所以假设b不是a的倍数。此时a与b的状态有以下两种：

　　（1） b-a<a　　如果b减去a的2倍以及以上时会变为负数，所以b只能减去a。

　　（2）b-a>a　　有更高的倍数可以选择。

　　 对于（1）来说，因为没有选择的余地，如果b减去a之后所得到的状态是必败态的话，它就是必胜态。

　　

　　对于（2）来说，假设x是使得b-ax<a的整数，考虑b-a(x-1)的情况，对于（4,19）则减去12->(4,7)。

　　此时，接下来的状态就变成了（1）没有选择的情况了。如果该状态是必败态的话，那么当前状态是必胜态。

　　但是，如果b-a(x-1)后为必胜态，此时b-ax后的状态是b-a(x-1)后的状态唯一可以达到的状态，那么根据假设，如果b-a(x-1)后的状态是必胜态，所以该状态是必败态。

因此该状态是必胜态。

　　由此可知，第二种情况总是必胜的。所以从初始状态开始，最先达到情况二的一方必胜。

//输入
int a,b;
void solve(){
    bool f=true;
    for(;;){
        if(a>b) swap(a,b);
        if(b%a==0) break; //b是a的倍数时必胜
        if(b-a>a) break; //如果是第二种情况必胜
        b-=a;
        f=!f; 
    }
    if(f) cout<<"Stan wins";
    else cout<<"Ollie wins";
}