数独高阶技巧入门之七——AIC & Nice Loop

AIC（交替推理链，Alternate Inference Chain）

在简单异数链一文中我们介绍过XY-Chain技法，AIC可以看作是XY-Chain的扩展。有别于XY-Chain仅局限于双值格，AIC籍由各种强弱关系的灵活运用，极大化的丰富了链类解题方法。

Alternate Inference Chain Type 1

AIC 根据首尾两端点候选数的异同可分为两种类型，我们将首尾数字相同的称为AIC1，下图就是一个AIC1的实例。

 

图1-AIC1

​图1中，实线代表强链，虚线代表弱链（下同）。我们可以看到，虽然本例中的链行进过程中候选数一直在发生变化（由双值格、多值格内候选数强弱关系的灵活运用实现），但候选数间始终保持着强弱交替，最终首尾两个相同候选数5之间形成强关系，可以删去两端点共同作用格内的5。

Alternate Inference Chain Type 2

AIC1的首尾数字相同，还有一类AIC的首尾两端点数字不同，但因为两端的候选数可以彼此在对方单元格内看到自己，我们得以据此对相关候选数进行删除，可将之称为AIC2。

 

图2-AIC2

​图2中，链的两端点分别为4和8，彼此都可以在对方格内看到自己。简单推理就可以发现，红框中的4、8互为强关系，不管哪个成立，红圈的4、8都会被删去。由此可得出AIC2的删除规则：互为强关系的两端点候选数可对对方格内的自己进行摈除。

是不是感觉很简单？AIC的工作原理的确很好理解，但是要达到熟练运用的程度并不容易，这需要敏锐的观察力以及大量的针对练习，随后我会针对本篇的内容提供一些练习题供大家进行训练。

Nice Loop

Continuous Nice Loops (AIC Loops)

先引入一个概念“Nice Loop”，在简单异数链一文中曾介绍过XY-Cycle的结构，我们把这类从某格出发并最终回到出发格的链路称为Nice Loop。若构成Nice Loop的每个候选数都可以首尾相连且保持强弱交替，则可将之称为Continuous Nice Loops（连续环，此前介绍过的X-Wing和XY-Cycle都是简单的连续环，如果AIC能够首尾相连则会构成AIC Loops，属于较复杂的连续环）。

下图即是一个AIC连续环，与XY-Cycle一样，断开任意一条虚线（弱链），都会构成一条强始强终的数链，弱链断开处两端的候选数互为强关系，可对其共同作用格进行摈除（弱链出现在多值格内部，可删除该格内其他候选数，如本例中r78c1中的35）。

 

图3-CNL01

​图4中在格内进行的删减更多，大家可以仔细体会一下。

 

图4-CNL02

​我们将构成连续环的每个单元格视作节点，观察各节点间的联结情况（大家需要注意，寻找环时分为两个层次，第一层首先是单元格之间的关系，第二层才是单元格内候选数间的关系），会发现：

1、若某节点通过两条强链与其他节点联结，该节点单元格内联结两条强链的候选数必然相异；

2、若某节点通过两条弱链与其他节点联结，该节点必为双值格且两个候选数分别联结一条弱链；

3、若某节点通过一条强链和一条弱链与其他节点联结，该节点内联结这两条链的为同一候选数。

（熟练掌握之前内容的话，就会马上明白，以上3点是连续环成立的必然要求。）

Discontinuous Nice Loop

如果环链的某个节点不符合上述3点的要求，亦即不能满足强弱交替的规则，就会构成Discontinuous Nice Loop（不连续环）。

 

图5-DNL01

图5中是一个不连续环的实例，本例中的环以7的弱链从r1c8出发，最终以5的强链回到该格，我们将这条弱始强终的链简化为 A—B==C 进行推理：若A为真，则B为假（弱链不能同真）；若B为假，则C为真（强链不能同假）。即A为真时，C必为真。回到本例中，假设r1c8=7，以此为前提，最终会推导出的结论是r1c8=5，即在同一个格内，有两个候选数同时成立，显然这种情况是违反数独规则的，由此我们可以判定之前假设的前提为假，并得出结论r1c8≠7。经过以上的归缪，可得出不连续环的一个删减规则：若某节点通过一条强链和一条弱链与其他节点联结，且该节点内联结这两条链的不是同一候选数，则联结弱链的候选数应被删去。

 

图6-DNL02

​上图是另一种情况的不连续环，本例中的环以4的强链从r8c2出发，最终又以4的强链回到r8c2格。我们假设这个格内存在起点和终点两个4，则这两个4互为强关系，不能同假。若假设起点r8c2≠4，由此前提会推导出终点r8c2=4的结论，产生矛盾，故该前提为假，r8c2=4。经过反证后我们可以得出不连续环的第二个删减规则：若某节点通过两条强链与其他节点联结，且该节点单元格内联结两条强链的是同一候选数，则该候选数为真，可删去单元格内其他候选数。

 

图7-DNL03

​图7是第三种情况的不连续环，本例中的环以1的弱链从r6c1格出发，最终又以1的弱链回到r6c1格，我们仿上例进行推理：假设r6c1格存在起点和终点两个1，这两个1互为弱关系不能同真，则由r6c1=1的前提，会推导出r6c1≠1的结论，产生矛盾，可知该前提为假，r6c1≠1。至此我们可以得出不连续环的第三个删减规则：若某节点通过两条弱链与其他节点联结，且该节点单元格内联结两条弱链的是同一候选数，则该候选数为假。

Grouped Nice Loop/AIC

在之前的文章（简单的单数链结构——双强链）里曾介绍过利用打包分组（Group）来寻找双强链的方法，这一技巧在Nice Loop和AIC中同样适用。在面对一些复杂的局面时，灵活的运用Group在行列宫制造出新的强弱关系，会让解题思路豁然开朗。

 

图8-GDNL

​上图中，利用将第2宫c4两个8（绿色圈内）打包后分别形成的与r1c5的强关系和r5c4的弱关系，以及第7宫c3两个2（绿色圈内）打包后分别形成的与r5c3的弱关系和r7c1的强关系可以找到一条不连续环，最终在r7c1中填入2。

 

图9-GCNL

​​图9实例中，分别将第8宫r9和c4的两个2打包后，可找到一条连续环，从而实现大量的删数。

 

图10-GAIC1

​

 

图12-GAIC2

​图11、12分别是AIC1、2的例子，大家仔细体会一下。

Group Nodes and ALS

除了使用单纯的Group做为节点联结Loop和AIC外，我们可以将思路继续发散，利用ALS候选数集间的关系，将之嵌入Loop和AIC中来解决问题。

 

图13-GDNLALS

​本例就是将ALS作为节点的一个应用，r8存在ALS{256}，在这个ALS中，2和打包起来的两个5之间为强关系，巧妙利用这一关系构造出一个非连续环，可以删除r8c2格内的5。

 

图14-GCNLALS

​眼尖的朋友已经发现，图14和图9是同一个盘势。本例利用r6的ALS{238}中2和打包的两个3的强关系，以及第8宫打包的两组2（绿色圈内），构造出一个连续环，实现了对更多候选数的删减，其中候选数1、2、3（红色）的删除很好理解（弱链两端点为强关系），但第5宫和r6中红色的8为何也被删除？

这是由连续环的特性所决定的。之前的内容中多次介绍过，连续环中断开任意一条弱链后，断开处两端点互为强关系。但是，连续环的另外一个特性大家可能没有注意到：断开任意一条强链后，断开处两端点互为弱关系，亦即连续环中的任意一条链都同时兼具强弱两种属性——两端点间是矛盾关系，不能同真，亦不能同假，必然一真一假。回到本例中，r6的ALS{238}中，2和group(3)不管哪一个成立，都会导致对方不成立，从而使ALS{238}变成（28）或者（38）的数对，则group（8）在任何情况下都成立，据此可对第5宫和r6中红色的8进行摈除。​

 

图15-GAITALS

​​上图是之前在微博上单独发过的一个利用ALS联结AIT2的实例，本例关键点在于c6列ALS{147}（黄框）中7和group（4）的强关系，以及group（4）和R4C6的4的弱关系

作者：零时四分_719b
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