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第43章 IIR滤波器的Matlab设计
本章节讲解IIR滤波器的Matlab设计，主要包括巴特沃斯滤波器，切比雪夫I型和II型滤波器以及椭圆滤波器。
43.1 巴特沃斯滤波器的设计
43.2 切比雪夫滤波器的设计
43.3 椭圆滤波器的设计
43.4 总结
43.1 巴特沃斯滤波器的设计
43.1.1 butter函数
功能：用于设计Butterworth（巴特沃斯）滤波器
语法：[b, a] = butter(n, Wn);
说明：butter函数可以设计低通、带通、高通和带阻数字滤波器，其特性可以使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但会损失截止频率处的下降斜度，使幅度响应衰减较慢。
- [b,a] = butter(n,Wn)可以设计截止频率为Wn的n阶低通butterworth滤波器，其中截止频率Wn应满足0<=Wn<=1，Wn=1相当于0.5fs（采样频率）。当Wn = [W1 W2]时，butter函数产生一个2n阶的数字带通滤波器，其通带为W1 < W < W2。
- [b,a] = butter(n,Wn,'ftype')可以设计高通或带阻滤波器。当ftype=high时，可设计截止频率为Wn的高通滤波器；当ftype=stop时，可设计带阻滤波器，此时Wn = [W1 W2]，阻带为W1 < W < W2。
使用butter函数设计滤波器，可以使通带内的幅度响应最大地平坦，但会损失截止频率处的下降斜度。因此，butter函数主要用于设计通带平坦的数字滤波器。
43.1.2 buttord函数
功能：用来选择Butterworth滤波器的阶数。
语法：[n, Wn] = buttord（WP, WS, RP, Rs）；
说明：buttord函数可以在给定滤波器性能的情况下，选择Butterworth数字滤波器的最小阶数，其中WP和WS分别是通带和阻带的截止频率，其值为0<=Wp（或Ws）<=1，当该值为1时表示0.5fs（采样率）。RP和 Rs分别是通带和阻带区的波纹系数和衰减系数。
[n, Wn] = buttord（WP, WS, RP, Rs）可以得到高通、带通和带阻滤波器的最小阶数n。
当WP>WS时，为高通滤波器；当WP, WS为二元矢量时，若WP<WS，则为带通和带阻滤波器，此时Wn也为二元矢量。
利用buttord函数可得到Butterworth数字滤波器的最小阶数n，并使通带（0，WP）内的波纹系数小于RP,阻带（WS, 1）内衰减系数大于Rs。buttord函数还可以得到截止频率Wn，再利用butter函数可产生满足指定性能的滤波器。
使用butter函数设计数字滤波器，可以使通带内的幅度响应最大限度地平坦，但在截止频率附件幅度响应衰减慢。如果期望幅度响应下降斜度大，衰减快，可使用Elliptic(椭圆)或Chebyshev（切比雪夫）滤波器。
43.1.3 巴特沃斯低通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯低通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组低通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %信号 x2=sin(2*pi*200*t); %噪声 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wc=2*125/fs; %设置截止频率125Hz [b,a]=butter(2,Wc); %获取2阶IIR滤波系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x1.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x1).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
运算Malab结果如下：
从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器能够达到将近20的信噪比，比使用FIR需要更少的阶数。
43.1.4 巴特沃斯高通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯高通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组高通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %噪声 x2=sin(2*pi*200*t); %信号 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wc=2*125/fs; %设置截止频率125Hz [b,a]=butter(2,Wc, 'high'); %获取2阶IIR滤波系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x2.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x2).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab运行结果如下：
从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。
43.1.5 巴特沃斯带通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯带通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组带通滤波器系数，其阶数是2，通带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %噪声 x2=sin(2*pi*200*t); %信号 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wn=[125*2 300*2]/fs; %设置通带125Hz到300Hz [b,a]=butter(1,Wn); %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x2.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x2).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab的计算结果如下：
从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。
43.1.6 巴特沃斯带阻滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解巴特沃斯带阻滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数butter设计一组带阻滤波器系数，其阶数是2，阻带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %信号 x2=sin(2*pi*200*t); %噪声 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wn=[125*2 300*2]/fs; %设置阻带125Hz到300Hz [b,a]=butter(1,Wn, 'stop'); %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x1.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x1).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Maltab运行结果如下：
从滤波的效果来看，2阶的IIR滤波器效果还是比较好的。
43.2 切比雪夫滤波器的设计
切比雪夫（Chebyshev）滤波器分为Chebyshev I型和Chebyshev II型，分别具有通带等纹波和阻带等纹波性能。
43.2.1 cheby1函数
功能：用来设计Chebyshev（切比雪夫）I型滤波器（通带等纹波）。
语法：[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);
[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');
说明：cheby1函数可以设计低通，带通，高通和带阻Chebyshev I型数字滤波器，其通带内为等纹波，阻带内为单调。Chebyshev I型滤波器的下降斜度比Chebyshev II型大，但其代价是在通带内纹波较大。
[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);可以设计n阶低通Chebyshev I型数字滤波器，其中RP用来确定通带内的纹波，Wn为改滤波器的截止频率。
当Wn=[W1, W2]时，cheby1函数可产生一个2n的数字带通滤波器，其通带为W1<W<W2。
[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');可用来设计n阶高通或带阻滤波器，其中Rp和Wn同上，ftype的定义与butter相同。
43.2.2 cheby1ord函数
功能：用来选择Chebyshev I型滤波器的阶数。
语法：[n, Wn] = cheb1ord（WP, WS, RP, Rs）;
说明：cheb1ord函数可以在给定滤波器性能的情况下，选择Chebyshev I型数字滤波器的最小阶数，其中Wp和Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值为0<=Wp（或Ws）<=1。Rp和Rs分别是通带和阻带区的波纹系数。
[n, Wn] = cheb1ord（WP, WS, RP, Rs）;可以得到低通、高通、带通和带阻滤波器的最小阶数。
利用cheblord函数，除了可以得到Chebyshev I型数字滤波器的最小阶数n外，还可以得到截止频率Wn，再利用cheby1函数可产生满足指定性能的滤波器，使滤波器通带(0, Wp)内的纹波系数小于Rp，阻带(WS, 1)内衰减系数大于RS
43.2.3 cheby2函数
功能：用来设计Chebyshev（切比雪夫）I型滤波器（通带等纹波）。
语法：[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn);
[b,a] = cheby1(n, Rp, Wn, 'ftype');
说明：cheby2函数与cheby1函数基本相同，只是用cheby2函数所设计的滤波器，其通带内为单调的，阻带内为等波纹，由RS指定阻带内的波纹。
cheby2函数可以设计低通，带通，高通和带阻Chebyshev II型数字滤波器。
43.2.4 cheby2ord函数
功能：用来选择Chebyshev II型滤波器的阶数。
语法：[n, Wn] = cheb2ord（WP, WS, RP, Rs）;
说明：cheb2ord函数与cheb2函数类似，可以利用该函数确定Chebyshev II型数字滤波器的最小阶数n和截止频率Wn。
cheb2ord函数和cheb2函数配合使用，可设计出最低阶数的Chebyshev II型数字滤波器。
43.2.5 切比雪夫I型低通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型低通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组低通滤波器系数，其阶数是4，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %信号 x2=sin(2*pi*200*t); %噪声 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wc=2*125/fs; %设置截止频率125Hz [b,a]=cheby1(4, 3, Wc); %获取2阶IIR滤波系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x1.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x1).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab计算结果如下：
从滤波的效果来看，4阶的切比雪夫I型滤波效果还是比较好的。
43.2.6 切比雪夫I型高通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型高通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组高通滤波器系数，其阶数是2，截止频率为0.25（也就是125Hz），采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %噪声 x2=sin(2*pi*200*t); %信号 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wc=2*125/fs; %设置截止频率125Hz [b,a]=cheby1(2, 1, Wc, 'high'); %获取2阶IIR滤波系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x2.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x2).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab运行结果如下：
43.2.7 切比雪夫I型带通滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型带通滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将50Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组带通滤波器系数，其阶数是2，通带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps，通带纹波1db。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %噪声 x2=sin(2*pi*200*t); %信号 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wn=[125*2 300*2]/fs; %设置通带125Hz到300Hz [b,a]=cheby1(1,1,Wn); %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x2.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x2).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab的计算结果如下：
从滤波的效果来看，2阶的带通滤波器效果不够好，出现这种情况的时候，需要大家去重新的调节截止频率，滤波器阶数和通带波纹。
43.2.8 切比雪夫I型带阻滤波器设计
下面我们通过一个实例来讲解切比雪夫I型带阻滤波器的设计。原始信号是由50Hz正弦波和200Hz的正弦波组成，将200Hz的正弦波当做噪声滤掉，下面通过函数cheby1设计一组带阻滤波器系数，其阶数是2，阻带为125Hz到300Hz，采样率1Kbps，通带波纹1db。Matlab运行代码如下：
fs=1000; %设置采样频率 1k N=1024; %采样点数 n=0:N-1; t=0:1/fs:1-1/fs; %时间序列 f=n*fs/N; %频率序列 x1=sin(2*pi*50*t); %信号 x2=sin(2*pi*200*t); %噪声 x=x1+x2; %信号混合 subplot(221); plot(t,x); %绘制原始信号 xlabel('时间'); ylabel('幅值'); title('原始信号'); grid on; subplot(222); y=fft(x,N); %绘制原始信号的幅频响应 plot(f,abs(y)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('原始信号FFT'); grid on; subplot(223); Wn=[125*2 300*2]/fs; %设置阻带125Hz到300Hz [b,a]=cheby1(1,1,Wn, 'stop'); %注意第一个参数虽然是1，但生成的却是2阶IIR滤波器系数 % y2=filter(b,a,x); y2=filtfilt(b,a,x); %计算滤波后的波形y2 y3=fft(y2,N); %滤波后波形的幅频响应 plot(f,abs(y3)); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('滤波后信号FFT'); grid on; [H,F]=freqz(b,a,512); subplot(224); plot(F/pi,abs(H)); xlabel('归一化频率'); %绘制绝对幅频响应 ylabel('幅度'); Ps=sum(x1.^2); %信号的总功率 Pu=sum((y2-x1).^2); %剩余噪声的功率 SNR=10*log10(Ps/Pu); %信噪比 title(['Order=',int2str(2), ' SNR=',num2str(SNR)]); grid on;
Matlab计算结果如下：
从滤波的效果来看，2阶带阻滤波的效果较好。
43.3 椭圆滤波器的设计
43.3.1 ellip函数
功能：用来设计Elliptic(椭圆)型滤波器
语法：[b,a] = ellip(n, Rp, RS, Wn);
[b,a] = ellip(n, Rp, RS, Wn, 'ftype');
说明：ellip函数与cheby1、cheby2函数类似，可以设计低通、高通、带通和带阻数字滤波器。参数RP和RS分别用来指定通带波纹和阻带波纹，Wn指定滤波器的截止频率，n为滤波器的阶数。
与Butterworth和Chebyshev滤波器相比，ellip函数可以得到下降斜度更大、衰减更快的滤波器，但通带和阻带内均为等纹波。通常情况下，椭圆滤波器能以较低的阶数来实现指定的性能。
[b,a] = ellip(n, Rp, RS, Wn);可设计n阶低通或带通滤波器。当Wn=[W1 W2]时，可设计带通滤波器。
[b,a] = ellip(n, Rp, RS, Wn, 'ftype');可设计n阶高通或带阻滤波器。
当ftype=high时，可设计截止频率为Wn的高通滤波器。
当ftype=stop时，且Wn=[W1 W2]时，可设计带阻滤波器，阻带为W1<W<W2。
43.3.2 ellipord函数
功能：用来选择椭圆滤波器的阶数。
语法：[n, Wn] = cheb2ord（WP, WS, RP, Rs）；
说明：ellipord函数与cheb1ord函数类似，用于选择指定性能时的椭圆滤波器的最小阶数n和截止频率Wn，并与ellip函数配合可设计出最低阶数的椭圆滤波器。
43.3.3 椭圆滤波器设计
关于椭圆滤波器的使用，大家参考前面的切比雪夫滤波器设计即可，使用方法基本是类似的。但是由于椭圆滤波器要同时给我通带和阻带的纹波，所以要得到满足要求的滤波器系数要花些时间去做测试。
43.4 总结
本章节主要讲解了巴特沃斯，切比雪夫和椭圆滤波器的设计，如果想用好还需要大家多多做测试，并深入了解相关理论知识。