因式分解技巧——实数域与复数域上的分解

《因式分解技巧》，单墫著

因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。例如， (x^2-3) 没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积，即在有理数域上 (x^2-3) 是既约多项式。若将其放在实数域内考虑，因为 (x^2-3=(x-sqrt{3})(x+sqrt{3})), 所以 (x^2-3) 不是实数域上的既约多项式。

前面我们的讨论都是在有理数域上进行的。 下面我们看看实数域和复数域上的分解。

求根公式

一次多项式永远是既约的。

关于 (x) 的二次三项式 (ax^2+bx+c) 在复数域上的因式分解非常简单：根据求根公式 $$x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
我们就得到一个分解 $$ax^2+bx+c=aleft(x-frac{-b+ sqrt{b^{2-4ac}}{2a} ight)left(x-frac{-b-sqrt{b}2-4ac}}{2a} ight). qquad (1)$$

在实数域上，若 (b^2-4acgeq 0), ((1)) 就是一个分解；若 (b^2-4ac<0), 那么 (ax^2+bx+c) 就是实数域上的一个既约多项式。

如果 (b^2-4ac) 不是有理数的平方，那么 (ax^2+bx+c) 就是有理数域上既约多项式。如果 (b^2-4ac) 是有理数的平方，那么 (ax^2+bx+c) 就可以分解。当然，这时候用十字相乘法更方便。

• 分解因式：(2x^2-3x-7).
  因为 (b^2-4ac=65>0), (65) 不是有理数的平方，所以 (2x^2-3x-7) 是有理数域上的既约多项式。但在实数域和复数域上，它是可以分解的：

[2x^2-3x-7=2left(x-frac{3+sqrt{65}}{4} ight)left(x-frac{3-sqrt{65}}{4} ight). ]

• 分解因式：(2x^2-3x+7).
  因为 (b^2-4ac=-47<0), 所以 (2x^2-3x+7) 是实数域上的既约多项式。在复数域上它可分解为

[2x^2-3x+7=2left(x-frac{3+sqrt{47}i}{4} ight)left(x-frac{3-sqrt{47}i}{4} ight). ]

• 分解因式：(2x^2-3x-2).
  因为 (b^2-4ac=25) 是有理数的平方，所以原式可在有理数域上分解。利用十字相乘也可以得到结果

[2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2). ]

代数基本定理

在复数域上，每个形如 (f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0) ((n>0)) 的多项式至少有一个根。

由此可以很自然的得到

(n) 次多项式 (f(x)) 恰好有 (n) 个根.

这只是一个理论上的结果，具体操作起来还是很麻烦的。

单位根

根据代数基本定理，方程 (x^3-1=0) 有三个根，我们把 (dfrac{-1+sqrt{3}i}{2}) 记作 (omega). 明显的有 (omega^2+omega+1=0).

一个小结论：如果三次单位根 (omega) 是 (f(x)) 的根，那么根据复根配对可知 (x^2+x+1) 就是 (f(x)) 的因式。

• 分解因式：(x^5+x^4+x^2+x+2).
  经验证可知 (omega) 是原式的一个根，于是原式有因式 (x^2+x+1)。因此原式可在有理数域上分解为

[x^5+x^4+x^2+x+2=(x^2+x+1)(x^3-x+2). ]