《高中数学解题36术》第4页例2:
已知 (alpha), (eta), (gammain mathbb{R}), (0<alpha<eta<gamma<frac{pi}{2}), 证明:(pi +4sinalphacoseta+4sinetacosgamma>2sin 2alpha+2sin 2eta+2sin 2gamma).
易知,待证不等式等价于 $$frac{pi}{4}>sin alpha(cosalpha-coseta)+sineta(coseta-cosgamma)+singammacosgamma.quad (1)$$
书上给出的几何法非常巧妙。如下图所示,
不等式 ((1)) 式的左边即是单位圆在第一象限内的面积;右侧的三项分别是图中三个矩形的面积。由图可知,不等式显然成立。
但我还是想知道,有没有可能从三角函数的变换方面把这个题目证出来。