初涉拉格朗日插值

通过多项式点值表示得到多项式在某一点的值。

什么是拉格朗日插值

就扔个式子先，证明先留坑。

拉格朗日插值的应用

通常来说，拉格朗日插值属于有点偏门的算法。

一般应用有：求$sum{i^k}$的多项式；解矩阵的特征多项式等等。

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板子题

 P4781 【模板】拉格朗日插值

题目描述

由小学知识可知， nn 个点 (x_i,y_i)(xi​,yi​) 可以唯一地确定一个多项式

现在，给定 nn 个点，请你确定这个多项式，并将 kk 代入求值

求出的值对 998244353998244353 取模

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数 n,kn,k ，含义如题

接下来 nn 行，每行两个正整数 x_i,y_ixi​,yi​ ，含义如题

输出格式：

一个整数表示答案

说明

n leq 2000 ; ; ; x_i,y_i,k leq 998244353n≤2000xi​,yi​,k≤998244353

样例一中的三个点确定的多项式是 f(x)=x^2+2x+1f(x)=x2+2x+1 ，将 100100 代入求值得到 1020110201

样例二中的三个点确定的多项式是 f(x)=xf(x)=x ，将 100100 代入求值得到 100100

如果你不会拉格朗日插值，你可以到这里去学习一下

此外，请注意算法的常数问题，建议开启O2优化

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题目分析

那么就是拉格朗日插值的最基础应用。

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 2035;
const int MO = 998244353;

int x[maxn],y[maxn],n,k,ans;

int qmi(int a, int b)
{
    int ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ret = 1ll*ret*a%MO;
        a = 1ll*a*a%MO, b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int upp = 1, low = 1;
        for (int j=1; j<=n; j++)
        {
            if (i==j) continue;
            upp = 1ll*upp*(k-x[j])%MO;
            low = 1ll*low*(x[i]-x[j])%MO;
        }
        upp = (upp%MO+MO)%MO, low = (low%MO+MO)%MO;
        ans = (ans+1ll*y[i]*upp%MO*qmi(low, MO-2)%MO)%MO;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

END