依分布收敛的定义细节

1 定义

依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列({X_n}_{n=1}^{infty})，若它们的累积分布函数cdf序列({F_1}_{n=1}^{infty})，与某个随机变量(X)的cdf (F)，满足

[lim_{n oinfty} F_n(x)=F(x) ]

在任意(F(x))的连续点(x)处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量(X)，记为(X_nstackrel{D}longrightarrow X)。

在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在(F(x))的连续点处条件成立即可。

接下来，我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑(X_nsim N(0,sigma_n^2))，(sigma_n o +infty)，我们有

[F_n(x)=P(dfrac{x_n}{sigma_n}leq dfrac{x}{sigma_n})=Phi(dfrac{x}{sigma_n}) ]

在任一点(x)处，都有(Phi(dfrac{x}{sigma_n}) oPhi(0)=dfrac{1}{2})，因此，可设(F(x)=dfrac{1}{2})，就满足定义中的极限条件。但此时，(F(x))不是任何随机变量的cdf，因为随机变量的cdf需要满足(limlimits_{x o -infty}F(x)=0)以及(limlimits_{x o infty}F(x)=1)。

这一点如何修正？我们只需让序列({X_n}_{n=1}^{infty})是依概率有界即可。而在定义中，就要求cdf函数列的极限形式，一定要对应到某个随机变量的cdf。

3 只考虑连续点

回忆cdf的另一个性质：右连续，即(F(x)=F(x+))。但在依分布收敛的情形中，很可能会出现不满足的情况，如(X_n=X+dfrac1 n)，易知

[F_n(x)=P(X_nleq x)=P(Xleq x-dfrac 1 n)=F(x-dfrac{1}{n}) ]

若(n oinfty)，则(F_n(x) o F(x-))。若(F)在(x)处不满足左连续，那么不能满足(F_n(x) o F(x))，因此在定义中，需将(F)的不连续点排除。

举个具体的例子，如(X_nsim U_{(0,1/n)})，则(X_n)在极限时的分布会退化为(X=1)，而(F_n(0)=0)恒成立，但(F(0)=1)，因此对于(x=0)无法满足(F_n(x) o F(x))，但(x=0)是(F(x))的不连续点，因此可以剔除。所以还是认为(X_nstackrel{D}longrightarrow X)。