$a_n>0$，$a_{n+1}+dfrac{1}{a_n}<2$，求证：
(1) $a_{n+1}<a_n<2(nin mathbb{N}^*)$；
(2) $a_n>1(nin mathbb{N}^*)$.
【证明】：(2) 由 (1) 知 $a_n$ 单调递减有下界，则 $a_n$ 极限存在，设该极限为 $a$，
则
[a+dfrac{1}{a}leqslant 2,]
即
[(a-1)^2leqslant 0,]
所以
[a=1.]
假设存在 $N$，使得
[a_Nleqslant 1,]
则
[a_{N+k}leqslant a_{N+1}<1,kin mathbb{N}^*.]
固定 $N$，令 $k oinfty$，得
[aleqslant a_{N+1}<1,]
这与 $a=1$ 矛盾.
所以 $a_n>1$，对所有 $nin mathbb{N}^*$ 都成立.