异或(^/XOR)的研究

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简介

• 异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者^表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。
• 简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性质

1. 交换律

2. 结合律（即(a^b)c == a^(bc)）

3. 对于任何数x，都有x^x=0，x0=x

4. 自反性 A XOR B XOR B = A XOR 0 = A

应用

• 异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。

• 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） :

  • A=A XOR B (a XOR b)
  • B=B XOR A (b XOR a XOR b = a)
  • A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)
    类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

应用举例

• 1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

  • 解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。
    这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
  • 解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

  证明:

    1. 这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。首先是异或运算满足交换律、结合律。
    所以，1^2^...^n^...^n^...^ 1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。
    2. 其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。
    所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^ 1000^(n^ n)= 1^2^ ...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。
    3. 令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T
    则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。
    T^(T^n)=n。
    4. 所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3 ^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。