USACO 2020 January Contest, Platinum Problem 2. Non-Decreasing Subsequences

题目链接：http://usaco.org/index.php?page=viewproblem2&cpid=997

题解：矩阵在DP中的应用。

　　对于区间1-i，我们假设我们的合法子序列方案数为∑f[i][0][j], f[i][j][k] 就表示在这个区间里以j开头以k结尾的方案数。也就说我们有N个K*K的矩阵。但很明显这样是不满足区间减法的。我们可以发现，每加入一个元素x，我们有一个贡献矩阵把矩阵f[i-1]转移到f[i]，假设这个贡献矩阵是A[i]，那么f[i]=A[i]*A[i-1]......*A[1]，假如我想知道区间的贡献矩阵之积，我们可以用“逆矩阵”。我们设invf[i]=A'[1]*A'[2].....*A'[i]，那么区间的贡献矩阵是f[R]*invf[L-1]，这样我们可以做到O((Q+N)K^3)，这只能过一部分数据。研究一下这些贡献矩阵发现，它是一个三角矩阵，并且只有一行（或者一列，取决于你的贡献矩阵是左乘还是右乘）和单位矩阵不一样，也就说我们可以在预处理f[i]和invf[i]的时候把矩阵乘法加速到K^2,然后答案的区间矩阵我们只需要知道一列，然后我们可以通过预处理加速到K。总的时间复杂度是O(NK^2+QK)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int modu = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
const ll inverse2 = (1e9+8)/2;
ll f[22][22], invf[22][22];
ll pre[50005][22], ipre[50003][22];
int N, K, Q, cur;
int A[50003];

int main() {
    freopen("nondec.in", "r", stdin);
    freopen("nondec.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d", &N, &K);
    memset(f, 0, sizeof(f));
    memset(invf, 0, sizeof(invf));
    for (int i = 0; i <= K; ++i) f[i][i] = invf[i][i] = 1;
    ipre[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        scanf("%d", &A[i]);
　　　　　　//手动模拟矩阵乘法，因为有系数2，所以每个贡献矩阵左乘拆成两种基本行变换，把A[i]行*2，和把前面的行加到这一行。
        for (int j = 0; j < A[i]; ++j) {
            ll sumf = 0;
            for (int k = 0; k < A[i]; ++k) {
                sumf = (sumf + f[k][j]*inverse2) % modu;
            }
            f[A[i]][j] = (f[A[i]][j] + sumf) % modu;
        }
        for (int j = 0; j <= K; ++j) f[A[i]][j] = f[A[i]][j]*2 % modu;
        for (int j = 0; j <= K; ++j)
            for (int k = 0; k <= K; ++k)
                pre[i][j] = (pre[i][j] + f[k][j]) % modu;
　　　　　　//右乘可以看成基本列变换
        for (int j = 0; j <= K; ++j) invf[j][A[i]] = invf[j][A[i]]*inverse2 % modu;
        for (int j = A[i]; j <= K; ++j) {
            for (int k = 0;  k < A[i]; ++k)
                invf[j][k] = (invf[j][k] - invf[j][A[i]]) % modu;
        }
        for (int j = 0; j <= K; ++j) ipre[i][j] = invf[j][0];
    }
    scanf("%d", &Q);
    while (Q--)
    {
        int L, R;
        scanf("%d%d", &L, &R);
        ll ans = 0;
        for (int i = 0; i <= K; ++i)
            ans = (ans + pre[R][i]*ipre[L-1][i]) % modu;
        printf("%lld
", (ans + modu) % modu);
    }
    return 0;
}