CF1004D Sonya and Matrix

题解

设矩阵是 (n) 行 (m) 列的，且唯一的值为 (0) 的点在 ((x,y))。不妨设 (xle n-x+1,yle m-y+1)，因为可以通过旋转和翻转矩阵将 ((x,y)) 放到这个区域内。

于是，矩阵中离 ((x,y)) 最远的点一定是 ((n,m))。它们之间的距离是 (lvert n-x vert+lvert m-y vert=n+m-x-y)。找到给定的 (t) 个数中的 (max)，设为 (alpha)，则有 (alpha=n+m-x-y)。

可以发现，矩阵中值为 (a) 的数（也即和 ((x,y)) 的距离为 (a) 的位置）在不卡边界的情况下有 (4a) 个。

如下图：

图中 (1,2) 各有 (4,8) 个，而从 (3) 开始就卡了边界，因此 (3) 只有 (8) 个而不是 (12) 个。

设最小的被卡边界的数是 (v)，易知 (min(x,y)=v)。不妨设 (x=v)，根据上面讨论过的 (alpha=n+m-x-y)，可以算出 (y)。

此时，枚举 (n imes m) 个位置，并检查其是否与给定的 (t) 个数 (a_1,a_2,dots,a_t) 相同即可。

由于需要满足 (n imes m=t)，所以枚举 (t) 的约数作为 (n,m) 的值即可。

时间复杂度 (mathcal{O}(toperatorname{d}(t)))，(operatorname{d}) 是约数个数函数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti)
#define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti)
template<typename T> void Read(T &_x){
	_x=0;int _f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) _x=_x*10+(ch^48),ch=getchar();
	_x*=_f;
}
template<typename T,typename... Args> void Read(T &_x,Args& ...others){
	Read(_x);Read(others...);
}
typedef long long ll;
const int T=1e6+5;
int t,cnt[T],mx,cnt_[T];
int Abs(int x){
	return x<0?-x:x;
}
int main(){
	Read(t);
	For(i,1,t){
		int x;Read(x);
		++cnt[x],mx=max(mx,x);
	}
	int x=0;
	For(i,1,t){
		if(cnt[i]!=4*i){
			x=i;break;
		}
	}
	For(n,1,t){
		if(t%n) continue;
		int m=t/n,y=n+m-x-mx;
		if(x>n||y<=0) continue;
		memset(cnt_,0,sizeof cnt);
		For(i,1,n)
			For(j,1,m) ++cnt_[Abs(i-x)+Abs(j-y)];
		if(memcmp(cnt,cnt_,sizeof cnt)==0){
			printf("%d %d
%d %d
",n,m,x,y);
			return 0;
		}
	}
	puts("-1");
	return 0;
}