组合数问题

组合数问题

• 题目描述

  见https://www.luogu.org/problemnew/show/P3746#sub

• 数据范围

  \(1 \leq n \leq 10^9,0 \leq {r - 1} \leq {k - 1} \leq 50,2 \leq p \leq 2^{30} - 1\)

• 题解

  良心的30分可以通过组合递推得到。

  \(p = 2\)的时候直接\(dp\)方案数0或1即可。

  \(k = 1\)的时候显然答案就是\(2^n\)

  \(k = 2\)的时候答案是\(2^{n - 1}\)

  直到80分你都可以使用逆元\(O1\)计算组合数。

  现在来分析一下题目中的组合数到底代表什么？

  其实就是从\(n \times k\)个物品中，选出\(mod\)k余\(r\)的方案数。

  考虑\(dp\)，\(dp[i][j]\)表示考虑前\(i\)个物品，选出来的物品数模\(k\)为\(j\)的方案数。

  方程：\(dp_{i + 1,j} = dp_{i,j} + dp_{i,j - 1}\)

  矩阵优化即可。

  复杂度\(O(k^3 log_n)\)

  当然这已经足够通过本题。

  我们再来看看这个式子。

  可以表示成这个样子：\(dp[2n][i + j] += dp[n][i] + dp[n][j]\)

  可以理解为从前\(n\)个物品中选\(i\)的方案数和从后\(n\)个物品中选\(j\)个的方案数是从整个

  $ 2\times n\(中选\)i + j$个的方案数。

  直接倍增即可，复杂度\(O(k^2 log_n)\)

  #include <cstdio>
  #include <algorithm>
  using namespace std;
  #define int long long
  int ret[55], tmp[55], ttt[55], p;
  int n, r, k;
  void pow_mod(int n) {
  	ret[0] = 1;
  	if (k == 1) tmp[0] = 2;
  	else tmp[0] = tmp[1] = 1;
  	while (n) {
  		if (n & 1ll) {
  			for (int i = 0; i < k; ++i)
  				ttt[i] = 0;
  			for (int i = 0; i < k; ++i)
  				for (int j = 0; j < k; ++j)
  					ttt[(i+j)%k] += (ret[i] * tmp[j]) % p;
  			for (int i = 0; i < k; ++i)
  				ret[i] = ttt[i] % p;
  		}
  		for (int i = 0; i < k; ++i)
  			ttt[i] = 0;
  		for (int i = 0; i < k; ++i)
  			for (int j = 0; j < k; ++j)
  				ttt[(i+j)%k] += (tmp[i] * tmp[j]) % p;
  		for (int i = 0; i < k; ++i)
  			tmp[i] = ttt[i] % p;
  		n >>= 1ll;
  	}
  }
  signed main() {
  	scanf("%d %lld %d %d", &n, &p, &k, &r);
  	pow_mod(n*k);
  	printf("%lld", ret[r]);
  }