Cards [CF1278F]

https://codeforces.com/problemset/problem/1278/F/

题解

显然，洗一次牌，第一张是鬼牌的概率是 (dfrac{1}{m})，记 (P=dfrac{1}{m})

设 (x_i=0/1) 表示第 (i) 次洗牌之后第一张是不是鬼牌

不妨先考虑一下 (n=2,k=2) 的情况：

[egin{align*} E((x_1+x_2)^2) &=E(x_1^2+x_2^2+2*x_1*x_2) \ & =E(x_1^2)+E(x_2^2)+2*E(x_1*x_2) \ & =P+P+P^2 \ & =P^2+2*P end{align*} ]

类似的，一般情况下答案式子应该形如

[E((x_1+x_2+dots+x_n)^k)=sumlimits_{i=1}^k a_i*P^i ]

考虑 (a_i) 的组合意义，即为构造一个长为 (k) 的，每个数都在 (1sim n) 之间的序列，有多少种序列满足其中恰有 (i) 个不同的数

记 (S(n,m)) 为第二类斯特林数，合法的方案相当于将 (k) 个元素放入 (i) 个集合中使每个集合都非空，方案数 (a_i=inom{n}{i}*S(k,i)*i!)

答案即为 (sumlimits_{i=1}^k inom{n}{i}*S(k,i)*i!*P^i)

(O(k^2)) 预处理第二类斯特林数(或 (O(klog k)) 多项式预处理)后即可 (O(k)) 计算

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 5005
using namespace std;

const int mod = 998244353;
inline int qmod(int x) { return x<mod?x:x-mod; }
inline int fpow(int x, int t) { int r=1;for(;t;t>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(t&1)r=1ll*r*x%mod;return r; }
int n, m, k, s[N][N], fac[N], finv[N];

int main() {
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
	int P = fpow(m, mod-2);
	fac[0] = s[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= k; i++) for (int j = 1; j <= i; j++) 
		s[i][j] = qmod(1ll*j*s[i-1][j]%mod+s[i-1][j-1]);
	for (int i = 1; i <= k; i++) fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;
	finv[k] = fpow(fac[k], mod-2);
	for (int i = k-1; i; i--) finv[i] = 1ll*finv[i+1]*(i+1)%mod;
	int P2 = P, ans = 0, Fac = n;
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		ans = qmod(ans+1ll*P2*s[k][i]%mod*Fac%mod);
		Fac = 1ll*Fac*(n-i)%mod;
		P2 = 1ll*P2*P%mod;
	}
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}