• 数据结构:树状数组-区间修改区间查询


    树状数组的本职工作是修改点,查询区间和

    我们可以先回顾一下姊妹篇:(一维)树状数组的实现

    然后我们再回顾一下差分数组,差分数组可以实现修改区间,查询点

    如果不用树状数组进行优化的话,修改是O(1),查询是O(n)的

    我们要做的就是用树状数组把查询操作优化成对数级别的

    这里直接给出树状数组的代码以及差分数组的代码:

    先是树状数组的:

    int a[maxn];
    int c[maxn];
    int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    void update(int x,int y)
    {
        while(x<=n)
        {
            c[x]+=y;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    int sum(int x)
    {
        int ans=0;
        while(x>0)
        {
            ans+=c[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return ans;
    }

    然后是差分数组的:

    int a[maxn];
    int b[maxn];
    int n,q;
    void update(int x,int y,int z)
    {
        b[x]+=z;
        b[y+1]-=z;
    }
    int sum(int x)
    {
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=x;i++)
            ans+=b[i];
        return ans;
    }

    那么我们只要把他们结合在一起,就是传说中的差分树状数组了,其实很简单,就是把差分数组存到树状数组里面来维护,但是这样就会有一个问题,虽然查询的效率变好了

    但是修改的效率由原来的O(1)变成了O(logn)的,所以有利有弊需要自己衡量

    下面直接给出差分树状数组的源码,其实就是把上述的两份代码拼接在了一起

     1 //aininot260
     2 //修改区间,查询点
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstring>
     5 using namespace std;
     6 const int maxn=100005;
     7 const int maxq=100005;
     8 int a[maxn];
     9 int b[maxn];
    10 int c[maxn];
    11 int lowbit(int x)
    12 {
    13     return x&(-x);
    14 }
    15 int n,q;
    16 void c_update(int x,int y)
    17 {
    18     while(x<=n)
    19     {
    20         c[x]+=y;
    21         x+=lowbit(x);
    22     }
    23 }
    24 void update(int x,int y,int z)
    25 {
    26     b[x]+=z;
    27     b[y+1]-=z;
    28     c_update(x,z);
    29     c_update(y+1,-z);
    30 }
    31 int sum(int x)
    32 {
    33     int ans=0;
    34     while(x>0)
    35     {
    36         ans+=c[x];
    37         x-=lowbit(x);
    38     }
    39     return ans;
    40 }
    41 int main()
    42 {
    43     cin>>n;
    44     for(int i=1;i<=n;i++)
    45         cin>>a[i];
    46     b[1]=a[1];
    47     c_update(1,b[1]);
    48     for(int i=2;i<=n;i++)
    49     {
    50         b[i]=a[i]-a[i-1];
    51         c_update(i,b[i]);
    52     }
    53     cin>>q;
    54     while(q--)
    55     {
    56         int x;
    57         cin>>x;
    58         if(x==1)
    59         {
    60             int y,z,w;
    61             cin>>y>>z>>w;
    62             update(y,z,w);
    63         }
    64         if(x==2)
    65         {
    66             int y;
    67             cin>>y;
    68             cout<<sum(y)<<endl;
    69         }
    70     }
    71     return 0;
    72 }

    接着要介绍的就是利用树状数组来实现区间修改和区间查询,这样就可以规避很多必须要写线段树的情况

    写完之后发现,帅呆了。时间空间代码量全部吊打线段树

    写这种BIT的时候我们需要维护三个数组

    long long delta[maxn]; //差分数组 
    long long deltai[maxn]; //delta*i 
    long long sum[maxn];//原始前缀和

    初始化的时候,直接计算前缀和就可以了,两个树状数组都是用来存delta的

    然后是修改区间操作,4次Update即可:

                int y,z,w;
                cin>>y>>z>>w;
                update(delta,y,w);
                update(delta,z+1,-w);
                update(deltai,y,w*y);
                update(deltai,z+1,-w*(z+1));

    查询区间和的操作,直接在前缀和基础上加减delta就可以了

                long long suml=sum[y-1]+y*query(delta,y-1)-query(deltai,y-1);
                long long sumr=sum[z]+(z+1)*query(delta,z)-query(deltai,z);
                cout<<sumr-suml<<endl;

    下面给出完整的代码:

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<algorithm>
     4 using namespace std;
     5 const int maxn=200005,maxq=200005;
     6 int n,q;
     7 int lowbit(int x)
     8 {
     9     return x&(-x);
    10 }
    11 long long delta[maxn]; //差分数组 
    12 long long deltai[maxn]; //delta*i 
    13 long long sum[maxn];//原始前缀和
    14 void update(long long *c,int x,int y)
    15 {
    16     while(x<=n)
    17     {
    18         c[x]+=y;
    19         x+=lowbit(x);
    20     }
    21 }
    22 long long query(long long *c,int x)
    23 {
    24     long long ans=0;
    25     while(x>0)
    26     {
    27         ans+=c[x];
    28         x-=lowbit(x);
    29     }
    30     return ans;
    31 }
    32 int main()
    33 {
    34     cin>>n;
    35     for(int i=1;i<=n;i++)
    36     {
    37         int x;
    38         cin>>x;
    39         sum[i]=sum[i-1]+x;
    40     }
    41     cin>>q;
    42     while(q--)
    43     {
    44         int x;
    45         cin>>x;
    46         if(x==1)
    47         {
    48             int y,z,w;
    49             cin>>y>>z>>w;
    50             update(delta,y,w);
    51             update(delta,z+1,-w);
    52             update(deltai,y,w*y);
    53             update(deltai,z+1,-w*(z+1));
    54         }
    55         if(x==2)
    56         {
    57             int y,z;
    58             cin>>y>>z;
    59             long long suml=sum[y-1]+y*query(delta,y-1)-query(deltai,y-1);
    60             long long sumr=sum[z]+(z+1)*query(delta,z)-query(deltai,z);
    61             cout<<sumr-suml<<endl;
    62         }
    63     }
    64     return 0;
    65 }

    其实介绍到这里已经差不多了,但是精彩的还在后面,二维树状数组!

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