图论：最短路-SPFA

该算法由Bellman-Ford算法演变过来，首先介绍一下Bellman-Ford算法

最短路最多经过n-1个点，可以用n-1轮松弛操作来得到

for(int i=0;i<n;i++)
    d[i]=INF;
d[0]=0;
for(int k=0;k<n-1;k++)
for(int i=0;i<m;i++)  //检查每条边 
{
    int x=u[i];
    int y=v[i];
    if(d[x]<INF)
        d[y]=min(d[y],d[x]+w[i]);
} 

当然这个算法我没有实际应用过，而是一直在用它的优化算法，利用队列代替前面的循环检查

SPFA最坏时间复杂度仍然为O（nm），但是有人分析其时间复杂度为O（km）,k为每个点入队次数，正确性未知

SPFA和Bellman-Ford都可以检测负环但是只有后者可以输出负环

下面给出邻接表实现的SPFA算法，可以求出单源最短路。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
const int maxm=500005;
const int INF=0x7fffffff;
//
int n,m,s;
//
int g[maxn];
struct point
{
    int t,w,next;
}e[maxm];
int d[maxn];
//
int tot=0;
void addedge(int a,int b,int c)
{
    tot++;
    e[tot].t=b;
    e[tot].w=c;
    e[tot].next=g[a];
    g[a]=tot;
}
//
int q[maxn];
bool v[maxn];
void spfa(int x0)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    d[i]=(i==x0?0:INF);
    int h=0,t=1;
    q[t]=x0;
    while(h!=t)
    {
        h=h%maxn+1;
        int x=q[h];
        v[x]=false;
        for(int tmp=g[x];tmp;tmp=e[tmp].next)
        {
            if(d[e[tmp].t]>d[x]+e[tmp].w)
            {
                d[e[tmp].t]=d[x]+e[tmp].w;
                if(!v[e[tmp].t])
                {
                    v[e[tmp].t]=true;
                    t=t%maxn+1;
                    q[t]=e[tmp].t;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        addedge(x,y,z);
    }
    spfa(s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<d[i]<<" ";
    return 0;
}