欧拉路&欧拉回路

1.
如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径。

如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2.
欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯(Koenigsberg)七桥问题时发现的.

3.
以下判断基于此图的基图连通。

在所有边连通的情况下

如果所有的点的度数都为偶数，那么这是一条欧拉回路

如果存在两个奇度点，那么从一个奇度点出发，最后到达另一个奇点，则称这是一条欧拉道路。

无向图存在欧拉回路的充要条件:
一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件:
一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

4.欧拉回路的求解

DFS搜索

求解欧拉回路的思路为：

利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后，选择一个正确的起始顶点，

用DFS算法遍历所有的边（每条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

例题：

骑马修栅栏 Riding the Fences

题目背景

Farmer John每年有很多栅栏要修理。他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

题目描述

John是一个与其他农民一样懒的人。他讨厌骑马，因此从来不两次经过一个栅栏。你必须编一个程序，读入栅栏网络的描述，并计算出一条修栅栏的路径，使每个栅栏都恰好被经过一次。John能从任何一个顶点(即两个栅栏的交点)开始骑马，在任意一个顶点结束。

每一个栅栏连接两个顶点，顶点用1到500标号(虽然有的农场并没有500个顶点)。一个顶点上可连接任意多(>=1)个栅栏。两顶点间可能有多个栅栏。所有栅栏都是连通的(也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏)。

你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。我们如果把输出的路径看成是一个500进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出500进制表示法中最小的一个 (也就是输出第一位较小的，如果还有多组解，输出第二位较小的，等等)。

输入数据保证至少有一个解。

输入输出格式

输入格式：

第1行: 一个整数F(1 <= F <= 1024)，表示栅栏的数目

第2到F+1行: 每行两个整数i, j(1 <= i,j <= 500)表示这条栅栏连接i与j号顶点。

输出格式：

输出应当有F+1行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

输入输出样例

输入样例#1： 

9
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5
2 5
5 6
5 7
4 6

输出样例#1： 

1
2
3
4
2
5
4
6
5
7

题目中要求是最小字典序 && 保证有欧拉路|欧拉回路
那么记下每个点的入度，如果存在奇点，说明是欧拉路
否则为欧拉回路
然后按照上面所说的方法找欧拉回路即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#define DB double
#define eps 1e-3
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}
const int N=1510;
int m,S,b[N][N],du[N],ans[N],k;
void dfs(int u)
{
    for(int i=1;i<=500;++i)
     if(b[u][i]>=1)
     {
         b[u][i]--;b[i][u]--;
         dfs(i);
     }
    ans[++k]=u;
}
int main()
{
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y;x=read();y=read();
        b[x][y]++;b[y][x]++;
        du[x]++;du[y]++;
    }
    S=1;
    for(int i=1;i<=500;++i)
     if(du[i]&1){S=i;break;}
    dfs(S);
    for(int i=k;i>=1;--i)
     printf("%d
",ans[i]);
    return 0;
}

(๑′ᴗ‵๑)Ｉ Lᵒᵛᵉᵧₒᵤ❤