前言
This Series aritcles are all based on the book 《经典算法大全》; 对于该书的所有案例进行一个探究和拓展,并且用python和C++进行实现; 目的是熟悉常用算法过程中的技巧和逻辑拓展。
提出问题
28.Algorithm Gossip: 格雷码 ( Gray Code)
说明
Gray Code是一个数列集合 , 每个数使用二进位来表示 , 假设使用n位元来表示每个数好了 , 任两个数之间只有一个位元值不同,例如以下为3位元的Gray Code:0 000 1 001 1 011 0 010 0 110 1 111 1 101 100
由定义可以知道,Gray Code的顺序并不是唯一的,例如将上面的数列反过来写,也是一组GrayCode:0 100 1 101 1 111 0 110 0 010 1 011 1 001 000
解法
由于Gray Code相邻两数之间只改变一个位元,所以可观 察Gray Code从1变0或从0变1时的位置,假设有4位元的Gray Code如下:
0 0000 1 0001 1 0011 0 0010 0 0110 1 0111 1 0101 0100
0 1100 1 1101 1 1111 0 1110 0 1010 1 1011 1 1001 1000
观察奇数项的变化时,我们发现无论它是第几个Gray Code,永远只改变最右边的位元,如果是1就改为0,如果是0就改为1。
观察偶数项的变化时,我们发现所改变的位元,是由右边算来第一个1的左边位元。
以上两个变化规则是固定的,无论位元数为何;所以只要判断位元的位置是奇数还是偶数,就可以决定要改变哪一个位元的值,为了程式撰写方便,将阵列索引 0当作最右边的值,而在列印结果时,是由索引数字大的开始反向列印。将2位元的Gray Code当作平面座标来看,可以构成一个四边形,您可以发现从任一顶点出发,绕四边形周长绕一圈,所经过的顶点座标就是一组Gray Code,所以您可以得到四组Gray Code。
同样的将3位元的Gray Code当作平面座标来看的话,可以构成一个正立方体,如果您可以从任一顶点出发,将所有的边长走过,并不重复经过顶点的话,所经过的顶点座标顺序之组合也就是一组Gray Code。
代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXBIT 20
#define TRUE 1
#define CHANGE_BIT(x) x = ((x) == '0' ? '1' : '0')
#define NEXT(x) x = (1 - (x))
int main(void) {
char digit[MAXBIT];
int i, bits, odd;
printf("输入位元数:");
scanf("%d", &bits);
for(i = 0; i < bits; i++) {
digit[i] = '0';
printf("0");
}
printf("
");
odd = TRUE;
while(1) {
if(odd)
CHANGE_BIT(digit[0]);
else {
// 计算第一个1的位置
for(i = 0; i < bits && digit[i] == '0'; i++) ;
if(i == bits - 1) // 最后一个Gray Code
break;
CHANGE_BIT(digit[i+1]);
}
for(i = bits - 1; i >= 0; i--)
printf("%c", digit[i]);
printf("
");
NEXT(odd);
}
return 0;
}
拓展和关联
后记
参考书籍
- 《经典算法大全》
- 维基百科