【数据结构第四周】树知识点整理（下）【二叉搜索树】

二叉搜索树

（1）定义

二叉搜索树（Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树

一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

a.非空左子树的所有键值小于其根节点的键值

b.非空右子树的所有键值大于其根节点的键值

c.左右子树都是二叉搜索树

（2）相关操作

Position Find( ElementType X, BinTree BST ):从二叉搜索树BST 中查找元素X,返回其所在结点的地址 

Position FindMin( BinTree BST ):从二叉搜索树BST中查找并返回 最小元素所在结点的地址

Position FindMax( BinTree BST ) :从二叉搜索树BST中查找并返回 最大元素所在结点的地址

BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) 

BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST ) 

（3）查找操作

递归实现

Position Find( ElementType X, BinTree BST ) 
{
    if( !BST ) 
    {
    	return NULL; /*查找失败*/
    }   
    if( X > BST->Data )
    {
    	return Find( X, BST->Right ); /*在右子树中继续查找*/
    }else if( X < BST->Data )
    {
    	return Find( X, BST->Left ); /*在左子树中继续查找*/
    }else /* X == BST->Data */
    {
    	return BST; /*查找成功,返回结点的找到结点的地址*/
    }
}

迭代实现

Position IterFind( ElementType X, BinTree BST ) 
{
    while( BST ) 
    {
    	if( X > BST->Data )
    	{
    		BST = BST->Right; /*向右子树中移动,继续查找*/ 
    	}else if( X < BST->Data )
    	{
    		BST = BST->Left; /*向左子树中移动,继续查找*/
    	} else /* X == BST->Data */
    	{
    		return BST; /*查找成功,返回结点的找到结点的地址*/
    	}
    }
     return NULL; /*查找失败*/ 
}

查找效率决定于树的高度

（3）查找最大和最小元素

最大元素一定是在树的最右分支的端结点上

最小元素一定是在树的最左分支的端结点上

查找最小元素的递归函数

Position FindMin( BinTree BST )
{
	if (! BST)
	{
		return NULL/*空的二叉搜索树，返回NULLß*/
	}else if (!BST->Left)
	{
		return BST;/*找到最左叶子结点并返回*/
	}else
	{
		return FindMin( BST->Left ); /*沿左分支继续查找*/
	}
}

查找最大元素的迭代函数

Position FindMax( BinTree BST )
{
	if (! BST)
	{
		while( BST->Right)
		{
			BST = BST->Right;
		}
	}
	return BST;
}

（4）二叉搜索树的插入

BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) 
{
    if( !BST )
    { /*若原树为空,生成并返回一个结点的二叉搜索树*/
     	BST = malloc(sizeof(struct TreeNode)); 
        BST->Data = X;
        BST->Left = BST->Right = NULL;
    }else /*开始找要插入元素的位置*/ 
        {
        	if( X < BST->Data )
        	{
        		BST->Left = Insert( X, BST->Left);/*递归插入左子树*/
        	} else if( X > BST->Data )
        	{
        		BST->Right = Insert( X, BST->Right);/*递归插入右子树*/
        	}
        }
     /* else X已经存在,什么都不做 */
    return BST;
}

（5）二叉搜索树的删除

分三种情况

a.要删除的是叶子结点，直接删除，并再修改其父结点指针——置为NULL

b.要删除的结点只有一个孩子结点：将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点

c.要删除的结点有左右两棵子树：用另一结点替代被删除的结点：右子树的最小元素或者左子树的最大元素

BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST ) 
{ 
	Position Tmp;
	if( !BST )
	{
		printf("要删除的元素未找到");
	}else if( X < BST->Data )
	{
		BST->Left = Delete( X, BST->Left); /* 左子树递归删除 */ 
	}else if( X > BST->Data )
	{
		BST->Right = Delete( X, BST->Right); /* 右子树递归删除 */
	}else /*找到要删除的结点 */
	{
		if( BST->Left && BST->Right )/*被删除结点有左右两个子结点 */
		{
			/*在右子树中找最小的元素填充删除结点*/ 
			Tmp = FindMin( BST->Right );
			/*在删除结点的右子树中删除最小元素*/ 
			BST->Data = Tmp->Data;
			BST->Right = Delete( BST->Data, BST->Right);

		}else/*被删除结点有一个或无子结点*/
		{
			Tmp = BST;
			if( !BST->Left ) /* 有右孩子或无子结点*/
			{
				BST = BST->Right;
			}else if( !BST->Right ) /*有左孩子或无子结点*/
			{
				BST = BST->Left;
			}
			free( Tmp );
		}
	}
}