动态规划专题

4类典型的动态规划方程

如果子问题数目为O(n^t),且每个子问题需要依赖于O(n^e)个其他子问题，称这个问题为tD/eD的。

1D/1D型：定义一个实函数w(i,j)(1<=i<j<=n)，已知D[0]，状态转移方程为

　　E[i] =min{D[i]+w(i,j)},0=<i<j,1=<j<=n————最长上升子序列

2D/0D型：已知D[i,0]和D[0,j] , 状态转移方程为：

　　E[i,j]=min{D[i-1,j]+x_i,D[i,j-1]+y_i,D[i-1,j-1]+z_i,j}————最长公共子序列

2D/1D型：————多源最短路径

2D/2D型：————双背包问题

对于这四种典型的方程，如果方程是tD/eD的，可以立刻得到一个最简单的时间复杂度为O(n^t+e)，空间复杂度为O(n^t)的算法。很多情况下可以用滚动数组优化空间复杂度。

基本类型

1.数字三角形。有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外，每个数的左下方和右下方各有一个数。从第一行的数开始，每次可以往左下或者右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来。如何走，科室的这个和最大？

分析：设d(i,j)为从格子(i,j)出发能得到的最大和，则d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}，边界是d(n+1,j)=0。

2.最长上升子序列（LIS）。给定n个整数A₁,A₂,...,A_n，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升序列。

分析：设d(i)为以 i 结尾的最长上升子序列长度，则d(i)=max{0,d(j)|j<i,A_j<A_i}+1,最终答案是max{d(i)}。时间复杂度为O(n²)。

3.最长公共子序列问题（LCS）。给出两个子序列A和B，求长度最大的公共子序列。

分析：设d(i,j)为A₁,A₂,...,A_i和B₁,B₂,...,B_j的LCS长度，则当A[i]=A[j]时，d(i,j)=d(i-1,j-1)+1;否则，d(i,j)=max{d(i-1,j),d(i,j-1)}，时间复杂度为O(nm)。

4.矩阵连乘（MCM）。给出n个矩阵组成的序列，设计一种方法把他们依次相乘，使得总运算量最小。假设第i个矩阵A_i是p_i-1*p_i的。

分析：设f(i,j)表示把A_i,A_i+1,...,A_j乘起来所需要的乘法次数，枚举“最后一次乘法”是第k个乘号，则f(i,j)=max{f(i,k)+f(k+1,j)+p_i-1p_kp_j},边界是f(i,i)=0,时间复杂度为O(n³)

5.01背包问题

6.最优排序二叉树（OBST）

7.货郎担问题（TSP）