hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!（入门SG值）

Problem Description

大学英语四级考试就要来临了，你是不是在紧张的复习？也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然，作为在考场浸润了十几载的当代大学生，Kiki和Cici更懂得考前的放松，所谓“张弛有道”就是这个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。“升级”？“双扣”？“红五”？还是“斗地主”？当然都不是！那多俗啊~
作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、  总共n张牌;
2、  双方轮流抓牌；
3、  每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、  抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。
Good luck in CET-4 everybody!

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含一个整数n（1<=n<=1000）。

Output

如果Kiki能赢的话，请输出“Kiki”，否则请输出“Cici”，每个实例的输出占一行。

Sample Input

1

3

Sample Output

Kiki

Cici

解题思路：找找规律，先举几个栗子：

当n=1时，先手必赢；

当n=2时，先手必赢；

当n=3时，无论先手抓多少张牌，后手必赢；

当n=4时，只要先手抓1张牌，接下来就转化成n=3这个局面，即先手必赢；

当n=5时，只要先手抓2张牌，接下来就转化成n=3这个局面，即先手必赢；

当n=6时，①当先手抓1张牌时，接下来就转化成n=5这个局面，即后手必赢；②当先手抓2张牌时，后手可以一次性抓走剩下的4张牌，即后手必赢；③当先手抓4张牌时，后手同样可以一次性取完剩下的2张牌，即后手必赢；所以无论先手抓多少张牌，后手必赢；

当n=7时，只要先手抓走1张牌，接下来就转化成n=6这个局，即先手必赢；

......

再多举几个栗子，我们可以发现只要n是3的倍数，则后手必赢；反之，先手必赢，因此可以用以下简单代码水过：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n){
        if(n%3)cout<<"Kiki"<<endl;//不是3的倍数，先手必赢
        else cout<<"Cici"<<endl;//是3的倍数，后手必赢
    }
    return 0;
}

这题还可以用SG值解决，所谓的SG值就是记录当前状态是N是P的具体值，N-position表示必赢状态（其SG值不为0），P-position表示必输状态（其SG值为0）。下面介绍怎么求SG值：首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示不属于mex这个集合的最小非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(n)=mex{ g(m) | m是n的后继 },这里的g(n)即sg[n]

拿本题的栗子来讲：首先有sg[0]=0，f[]={1,2,4...}；（f数组存放可以抓走扑克牌的张数，并且按升序存放）

当n=1时，先手可以抓走1-f{1}张牌，剩余{0}张，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

当n=2时，先手可以抓走2-f{1,2}张牌，剩余{1,0}张，mex{sg[1],sg[0]}={1,0}，故sg[2]=2；

当n=3时，先手可以抓走3-f{1,2}张牌，剩余{2,1}张，mex{sg[2],sg[1]}={2,1}，故sg[3]=0;

当n=4时，先手可以抓走4-f{1,2,4}张牌，剩余{3,2,0}张，mex{sg[3],sg[2],sg[0]}={0,2,0},故sg[4]=1;

当n=5时，先手可以抓走5-f{1,2,4}张牌，剩余{4,3,1}张，mex{sg[4],sg[3],sg[1]}={1,0,1},故sg[5]=2；

以此类推.....

   n  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9....

sg[n] 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0....

由上述实例我们就可以得到1~n的SG值的计算步骤，如下所示：
①、使用f数组保存可抓取的扑克牌张数。
②、然后使用vis数组来标记当前状态n的后继m状态。
③、最后模拟mex运算，也就是我们在集合mex中查找未被标记值的最小值，将其赋值给sg(n)。
④、不断的重复 ② - ③ 的步骤，即可完成计算1~n的SG值。

关于3种SG值计算方法（重点）：

1、可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2、可选步数为任意步，SG(x) = x;
3、可选步数为一系列不连续的数，用get_SG()计算 

此题就是选取第3种方法来计算SG值。

AC代码（非递归版本比较好理解）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,f[11],sg[maxn];
bool vis[maxn];
//f[]：每次抓牌的个数
//sg[]: 0~n的SG函数值
//vis[]:mex{}
void init(){//初始化
    f[1] = 1;//下标从1开始
    for(int i=2;i<=10;++i)f[i]=f[i-1]*2;//这里只需枚举到512即可，因为1024已经超过n=1000了
}
void get_SG(){
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i=1;i<maxn;++i){
        memset(vis,false,sizeof(vis));//每轮到当前i就重新初始化vis都为未访问状态，找出不属于这个集合的最小非负整数
        for(int j=1;j<11 && f[j]<=i;++j)//j<11要放在判断条件的前面，不然会出现错误即越界，因为数组长度只有10
            vis[sg[i-f[j]]]=true;//i-f[j]为后继状态,vis[sg[i-f[j]]]收录mex集合
        for(int j=0;j<maxn;++j)//求没有出现在mex集合中的非负最小值
            if(!vis[j]){sg[i]=j;break;}
    }
}
int main()
{
    init();
    get_SG();
    while(cin>>n){
        if(sg[n])cout<<"Kiki"<<endl;//当sg[n]不为0时，即为N-position，此时先手必赢
        else cout<<"Cici"<<endl;
    }
    return 0;
}

 再贴一下dfs版本代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1050;
int n,f[11],sg[maxn];
/*
SG值：一个点的SG值就是一个不等于它的后继点的SG的且大于等于零的最小整数。
同mex()函数。简单点来讲就是当前状态离最近一个必败点的距离。距离为0就是必败点
SG(x)=mex（S），S是x的后继状态的SG函数值集合，mex(S)表示不在S内的最小非负整数
SG值是P/N状态的具体化
*/
int mex(int x){//求该点的SG值（采用记忆化搜索）
    if(sg[x]!=-1)return sg[x];//搜索过了
    bool vis[maxn];//vis数组要在此声明，不然会出错，因为这里是递归操作
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=10;++i){
        int tmp=x-f[i];
        if(tmp<0)break;//当差值小于0，直接退出
        sg[tmp]=mex(tmp);//找sg[tmp]的后继值
        vis[sg[tmp]]=true;//回退的时候标记后继sg值标记为true
    }
    for(int i=0;i<=maxn;++i)//每次break退出时就取不属于mex集合的最小非负整数
        if(!vis[i]){sg[x]=i;break;}
    return sg[x];//返回x的最小非负整数
}
int main()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=10;++i)
        f[i]=f[i-1]*2;//只需枚举到512就行了，因为1024>1000没必要取到
    memset(sg,-1,sizeof(sg));//初始化为-1，记忆化搜索
    while(cin>>n){
        if(mex(n))cout<<"Kiki"<<endl;//当sg[n]不为0时即为N-position，先手必赢
        else cout<<"Cici"<<endl;
    }
    return 0;
}

 更多详解参考一下这篇博文：博弈论 SG函数