PKU 3370 Halloween treats 【鸽笼定理】
分类： 数论 2010-08-20 19:21 127人阅读 评论(0) 收藏 举报
【题目地址】
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3370
【题目大意】
万圣节邻居i会发给孩子们一定数量的糖果a[i],现在有c个孩子和n户邻居（1<=c<=n<=100000), 为了不引起纠纷，
孩子们决定选择性的去某些邻居家索要糖果，使得到的糖果总数可以均分给n个人(只要均分就行，不要求糖果数最多)。
【解题思路】
基本原理：如果n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体。考虑一个问题：给出n个数，从中选出若干数使他们的和为n的倍数。
结论：存在若干连续数，它们的和是n的倍数。
证明：设S(k)=a(1)+a(2)+···+a(k).如果存在一个S(k)是n的倍数，那么把前k个数选出来就可以了。
否则所有n个S(k)(n个物体)除以n的余数只有1,2,3，···，n-1中可能(n-1个盒子)，但现在有n个S(k)(n个物体)，由基本原理知，
必然有两个不同的和S(i)和S(j)(i<j)除以n的余数相同，故部分和S(j)-S(i)=a(i+1)+···+a(j)是n的倍数。
本题暴力肯定TLE，考虑鸽笼定理：从n个数中取出若干，和为c(c<=n)的倍数。
看另外一个例子：
一个屋子里面有n个人，他们的最大年龄不超过k岁，问是否肯定存在2组人（两组没有重复的人），使得这两组人的年龄和相等。
先看一个简单的：有5个小朋友，年龄（整数）都在1—4岁之间，那么至少有两个人的年龄相同（不要怀疑）；
那么本例中，n个人的组合，一共有2^n（2^n个小朋友）种方法，注意到最大情况n的人的年龄和是n* k（小朋友的年龄在1—n*k之间），
这样如果2^n>n*k，根据鸽笼原理，一定存在两种组合，他们的年龄和相等，而且没有重复的人（如果重复，把那个人删去就行了）。所以 O(1)的时间就判断出了结果。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=1000005;
int a[N],mod[N];//mod[]记录，余数为0，1，2，。。。n-1的下标
int n,m;
int main()
{
int i,sum,len,pos;
while(scanf("%d%d",&n,&m),m+n)
{
memset(mod,-1,sizeof(mod));
sum=0;
len=0;
pos=0;
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(len)continue;//若len！=0表示找到了
sum=(sum+a[i])%n;//前k项对n的余数
if(sum==0)
{
pos=0;
len=i+1;
}
else
{
if(mod[sum]>=0)
{
pos=mod[sum]+1;
len=i-mod[sum];
}
else mod[sum]=i;
}
}
printf("%d",pos+1);
for(i=pos+1;i<pos+len;i++)
{
printf(" %d",i+1);
}
printf("\n");
}
}