[SDOI2010]地精部落

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这道题是一道$DP$题，思维难度比较大。

题意：先定义波形数组：满足当$i$全为奇数或偶数时，$a[i]>a[i-1]$且$a[i]>a[i+1]$。

求$n$的全排列中有多少个符合波形数组。

想法是：如果第$i$个数是山峰，下一个肯定是山谷，也就是说要从剩下的且比第$i$个数小的数中挑到第$i+1$个数中。反之要挑大的数。

我们记录状态为$f[i][j][0/1]$，$i$为剩下$i$个数，$j$表示有$j-1$个数小于刚刚选择的数，当第$3$个下标为$0$时，表示这是山谷，为$1$则说明是山顶。

推理知道$f[i][j][0]$能影响$f[i-1][j..i][1]$，$f[i][j][1]$能影响$f[i-1][1..j-1][0]$。

初始化为$f[n][0][0]=f[n][n+1][1]=1$，其他为$0$。原因在于：刚开始所有数都可以作为第一个数为山峰或山谷，要么没有数比上一层大，要么所有数比上一层都大。

最后求$f[0][1][0]+f[0][1][1]$的值即可。

此时时间复杂度为$O(n^3)$，空间为$O(n^3)$。

但是过不了。。

考虑将转移方程变化下，把刷表改成填表，就发现$f[i][j][1]=sum_{x=0}^jf[i+1][x][0]$，$f[i][j][0]=sum_{x=j+2}^{i+2}f[i+1][x][1]$，然后又发现可以在填表的过程中顺便求下$Sigma$，于是就优化到了$O(n^2)$。

而空间可以通过滚动数组优化掉一维。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define re register
#define rep(i, a, b) for (re int i = a; i <= b; ++i)
#define repd(i, a, b) for (re int i = a; i >= b; --i)
#define maxx(a, b) a = max(a, b);
#define minn(a, b) a = min(a, b);
#define LL long long
#define inf (1 << 30)

inline int read() {
    int w = 0, f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f, c = getchar();
    while (isdigit(c)) w = (w << 3) + (w << 1) + (c ^ '0'), c = getchar();
    return w * f;
}

const int maxn = 4200 + 10;

int f[2][maxn][2], n, P, cur = 1;

int main() {
    n = read(), P = read();

    memset(f, 0, sizeof(f));

    f[cur][0][0] = f[cur][n+1][1] = 1;

    repd(i, n-1, 0) {
        cur ^= 1;
        rep(j, 0, i+2) f[cur][j][0] = f[cur][j][1] = 0;
        int v = f[cur^1][0][0];
        rep(j, 1, i+1) {
            v = (v + f[cur^1][j][0]) % P;
            f[cur][j][1] = (f[cur][j][1] + v) % P;
        }
        v = f[cur^1][i+2][1];
        repd(j, i+1, 1) {
            f[cur][j][0] = (f[cur][j][0] + v) % P;
            v = (v + f[cur^1][j][1]) % P;
        }
    }

    printf("%d", (f[cur][1][0] + f[cur][1][1]) % P);

    return 0;
}

这道题还可以用数学统计下手推方程。