[原创]北大ACM POJ 1050题解

[原创]北大ACM POJ 1050题解

这题是一维最大子段和的扩展。最大子段和的问题在编程珍珠这本书上讲的很透彻，最优算法的复杂度只要O(N)，基本思想就是边扫描数据边累加，如果累加的和小于0，则重置累加和为0并继续扫描后面的数，最后累加和最大的那个就是最大子段和。

对于本题矩阵情况，可以将其转换为一维来计算，方法就是对任意连续几行进行压缩。比如对矩阵a的第i行到第j行的压缩就是计算第i行到第j行的每列的和，这样就转换成只有1行列和了，这样就可以用一维的方法进行计算了。

例如
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
取i=0，j=2，则表示0~1行的子矩阵，用colsum[k][j]表示第k列的前j行(0,1...,j-1行)的列和。
则0~1行的子矩阵转换成列和的方法就是colsum[k][j]-colsum[k][i]。结果为9，0，-13，2.然后对该列和求最大子段和。通过遍历所有可能的连续行子矩阵，最后得到最大的那个即为最大子矩阵和。由于遍历需要O(N^2)时间，因此该算法总的复杂度为O(N^3)

代码如下：

Problem: 1050        User: absolute
Memory: 280K        Time: 16MS
Language: C++        Result: Accepted

#include <stdio.h>
int main(int argc, char* argv[])
{
    int n,i,j,k;
    scanf("%d",&n);
    int a[100][100];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    }
    //colsum[i][j]表示第i列前j行的和
    int colsum[101][101]={0};
    int maxsub = 0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=i+1;j<n+1;j++)
        {
            //计算第i行到第j行（不含第j行）的子矩阵的最大列子段和
            int curmax=0,sum=0;
            for(k=0;k<n;k++)
            {
                colsum[k][j] = colsum[k][j-1]+a[k][j-1];
                sum+=colsum[k][j]-colsum[k][i];
                if(sum<0)
                    sum=0;
                if(sum>curmax)
                    curmax = sum;
            }
            if(curmax>maxsub)
                maxsub=curmax;
        }
    }
    printf("%d\n",maxsub);
    return 0;
}