• 【动态规划】最大子段和问题，最大子矩阵和问题，最大m子段和问题

    原文：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8632430

         1、最大子段和问题

         问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

         (1)枚举法求解

         枚举法思路如下：

         以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

         以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

         ……

         以a[n]开始:{a[n]}共1个

         一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
         具体代码如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-1 最大子段和问题的简单算法  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
    7.   
    8. int main()  
    9. {  
    10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
    11.   
    12.     for(int i=0; i<6; i++)  
    13.     {  
    14.         cout<<a[i]<<" ";  
    15.     }  
    16.   
    17.     int besti,bestj;  
    18.   
    19.     cout<<endl;  
    20.     cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
    21.   
    22.     return 0;  
    23. }  
    24.   
    25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
    26. {     
    27.     int sum = 0;  
    28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项  
    29.     {  
    30.         for(int j=i; j<n; j++)//控制求和结束项  
    31.         {  
    32.             int thissum = 0;  
    33.             for(int k=i; k<=j; k++)//求和  
    34.             {  
    35.                 thissum += a[k];  
    36.             }  
    37.   
    38.             if(thissum>sum)//求最大子段和  
    39.             {  
    40.                 sum = thissum;  
    41.                 besti = i;  
    42.                 bestj = j;  
    43.             }  
    44.         }  
    45.     }  
    46.     return sum;  
    47. }  

                从这个算法的三个for循环可以看出，它所需要的计算时间是O(n^3)。事实上，如果注意到，则可将算法中的最后一个for循环省去，避免重复计算，从而使算法得以改进。改进后的代码如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-2 最大子段和问题的避免重复的简单算法  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);  
    7.   
    8. int main()  
    9. {  
    10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
    11.   
    12.     for(int i=0; i<6; i++)  
    13.     {  
    14.         cout<<a[i]<<" ";  
    15.     }  
    16.   
    17.     int besti,bestj;  
    18.   
    19.     cout<<endl;  
    20.     cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;  
    21.   
    22.     return 0;  
    23. }  
    24.   
    25. int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  
    26. {     
    27.     int sum = 0;  
    28.     for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项  
    29.     {  
    30.         int thissum = 0;  
    31.         for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和结束项  
    32.         {  
    33.             thissum += a[j];//求和  
    34.             if(thissum>sum)  
    35.             {  
    36.                 sum = thissum;  
    37.                 besti = i;  
    38.                 bestj = j;  
    39.             }  
    40.               
    41.         }  
    42.     }  
    43.     return sum;  
    44. }  

         (2)分治法求解

           分治法思路如下：

        将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

        [1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； 

        [2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

        [3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

        可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。

         具体代码如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-1 最大子段和问题的分治算法  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSubSum(int *a,int left,int right);  
    7. int MaxSum(int n,int *a);  
    8.   
    9. int main()  
    10. {  
    11.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
    12.   
    13.     for(int i=0; i<6; i++)  
    14.     {  
    15.         cout<<a[i]<<" ";  
    16.     }  
    17.   
    18.     cout<<endl;  
    19.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
    20.   
    21.     return 0;  
    22. }  
    23.   
    24. int MaxSubSum(int *a,int left,int right)  
    25. {     
    26.     int sum = 0;  
    27.     if(left == right)  
    28.     {  
    29.         sum = a[left]>0?a[left]:0;  
    30.     }  
    31.     else  
    32.     {  
    33.         int center = (left+right)/2;  
    34.         int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);  
    35.         int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);  
    36.   
    37.         int s1 = 0;  
    38.         int lefts = 0;  
    39.         for(int i=center; i>=left;i--)  
    40.         {  
    41.             lefts += a[i];  
    42.             if(lefts>s1)  
    43.             {  
    44.                 s1=lefts;  
    45.             }  
    46.         }  
    47.   
    48.         int s2 = 0;  
    49.         int rights = 0;  
    50.         for(int i=center+1; i<=right;i++)  
    51.         {  
    52.             rights += a[i];  
    53.             if(rights>s2)  
    54.             {  
    55.                 s2=rights;  
    56.             }  
    57.         }  
    58.         sum = s1+s2;  
    59.         if(sum<leftsum)  
    60.         {  
    61.             sum = leftsum;  
    62.         }  
    63.         if(sum<rightsum)  
    64.         {  
    65.             sum = rightsum;  
    66.         }  
    67.   
    68.     }  
    69.     return sum;  
    70. }  
    71.   
    72. int MaxSum(int n,int *a)  
    73. {  
    74.     return MaxSubSum(a,0,n-1);  
    75. }  

         算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：

          

         解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。

         (3)动态规划算法求解

        算法思路如下：

        记，则所求的最大子段和为：

        由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

         b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

         具体代码如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-1 最大子段和问题的动态规划算法  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSum(int n,int *a);  
    7.   
    8. int main()  
    9. {  
    10.     int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};  
    11.   
    12.     for(int i=0; i<6; i++)  
    13.     {  
    14.         cout<<a[i]<<" ";  
    15.     }  
    16.   
    17.     cout<<endl;  
    18.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;  
    19.   
    20.     return 0;  
    21. }  
    22.   
    23. int MaxSum(int n,int *a)  
    24. {  
    25.     int sum=0,b=0;  
    26.     for(int i=1; i<=n; i++)  
    27.     {  
    28.         if(b>0)  
    29.         {  
    30.             b+=a[i];  
    31.         }  
    32.         else  
    33.         {  
    34.             b=a[i];  
    35.         }  
    36.         if(b>sum)  
    37.         {  
    38.             sum = b;  
    39.         }  
    40.     }  
    41.     return sum;  
    42. }  

         上述算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

         2、最大子矩阵和问题
            (1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，使其各元素之和为最大。

         (2)问题分析：

          用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

          最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，设，则

    容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-5 最大子矩阵之和问题  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. const int M=4;  
    7. const int N=3;  
    8.   
    9. int MaxSum(int n,int *a);  
    10. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);  
    11.   
    12. int main()  
    13. {  
    14.     int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};  
    15.   
    16.     for(int i=0; i<M; i++)  
    17.     {  
    18.         for(int j=0; j<N; j++)  
    19.         {  
    20.             cout<<a[i][j]<<" ";  
    21.         }  
    22.         cout<<endl;  
    23.     }  
    24.   
    25.     cout<<endl;  
    26.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;  
    27.   
    28.     return 0;  
    29. }  
    30.   
    31. int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])  
    32. {  
    33.     int sum = 0;  
    34.     int *b = new int[n+1];  
    35.     for(int i=0; i<m; i++)//枚举行  
    36.     {  
    37.         for(int k=0; k<n;k++)  
    38.         {  
    39.             b[k]=0;  
    40.         }  
    41.   
    42.         for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j  
    43.         {  
    44.             for(int k=0; k<n; k++)  
    45.             {  
    46.                 b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和  
    47.                 int max = MaxSum(n,b);  
    48.                 if(max>sum)  
    49.                 {  
    50.                     sum = max;  
    51.                 }  
    52.             }  
    53.         }  
    54.     }  
    55.     return sum;  
    56. }  
    57.   
    58. int MaxSum(int n,int *a)  
    59. {  
    60.     int sum=0,b=0;  
    61.     for(int i=1; i<=n; i++)  
    62.     {  
    63.         if(b>0)  
    64.         {  
    65.             b+=a[i];  
    66.         }  
    67.         else  
    68.         {  
    69.             b=a[i];  
    70.         }  
    71.         if(b>sum)  
    72.         {  
    73.             sum = b;  
    74.         }  
    75.     }  
    76.     return sum;  
    77. }  

         以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：

     


         3、最大m子段和问题

         (1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。

         (2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：

         其中，表示第i个子段含a[j-1],而项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。

         具体代码如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-6 最大m子段问题  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSum(int m,int n,int *a);  
    7.   
    8. int main()  
    9. {  
    10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始  
    11.     for(int i=1; i<=6; i++)  
    12.     {  
    13.         cout<<a[i]<<" ";  
    14.     }  
    15.   
    16.     cout<<endl;  
    17.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;  
    18.     }  
    19.   
    20. int MaxSum(int m,int n,int *a)  
    21. {  
    22.     if(n<m || m<1)  
    23.         return 0;  
    24.     int **b = new int *[m+1];  
    25.   
    26.     for(int i=0; i<=m; i++)  
    27.     {  
    28.         b[i] = new int[n+1];  
    29.     }  
    30.   
    31.     for(int i=0; i<=m; i++)  
    32.     {  
    33.         b[i][0] = 0;  
    34.     }  
    35.   
    36.     for(int j=1;j<=n; j++)  
    37.     {  
    38.         b[0][j] = 0;  
    39.     }  
    40.   
    41.     //枚举子段数目，从1开始，迭代到m，递推出b[i][j]的值  
    42.     for(int i=1; i<=m; i++)  
    43.     {  
    44.         //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形  
    45.         for(int j=i; j<=n-m+i; j++)  
    46.         {  
    47.             if(j>i)  
    48.             {  
    49.                 b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中  
    50.                 for(int k=i-1; k<j; k++)  
    51.                 {  
    52.                     if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])  
    53.                         b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段仅包含a[j]  
    54.                 }  
    55.             }  
    56.             else  
    57.             {  
    58.                 b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//当i=j时，每一项为一子段  
    59.             }  
    60.         }  
    61.     }  
    62.     int sum = 0;  
    63.     for(int j=m; j<=n; j++)  
    64.     {  
    65.         if(sum<b[m][j])  
    66.         {  
    67.             sum = b[m][j];  
    68.         }  
    69.     }  
    70.     return sum;  
    71. }  

         上述算法的时间复杂度为O(mn^2)，空间复杂度为O(mn)。其实，上述算法中，计算b[i][j]时，只用到了数组b的第i-1行和第i行的值。因而，算法中只要存储数组b的当前行，不必存储整个数组。另一方面，的值可以在计算i-1行时预先计算并保存起来。计算第i行的值时不必重新计算，节省了计算时间和空间。因此，算法可继续改进如下：

    [cpp] view plain copy
    1. //3d4-7 最大m子段问题  
    2. #include "stdafx.h"  
    3. #include <iostream>   
    4. using namespace std;   
    5.   
    6. int MaxSum(int m,int n,int *a);  
    7.   
    8. int main()  
    9. {  
    10.     int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始  
    11.     for(int i=1; i<=6; i++)  
    12.     {  
    13.         cout<<a[i]<<" ";  
    14.     }  
    15.   
    16.     cout<<endl;  
    17.     cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;  
    18.     }  
    19.   
    20. int MaxSum(int m,int n,int *a)  
    21. {  
    22.     if(n<m || m<1)  
    23.         return 0;  
    24.     int *b = new int[n+1];  
    25.     int *c = new int[n+1];  
    26.   
    27.     b[0] = 0;//b数组记录第i行的最大i子段和  
    28.     c[1] = 0;//c数组记录第i-1行的最大i-1子段和  
    29.   
    30.     for(int i=1; i<=m; i++)  
    31.     {  
    32.         b[i] = b[i-1] + a[i];  
    33.         c[i-1] = b[i];  
    34.         int max = b[i];  
    35.   
    36.         //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形  
    37.         for(int j=i+1; j<=i+n-m;j++)  
    38.         {  
    39.             b[j] = b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];  
    40.             c[j-1] = max;//预先保存第j-1行的最大j-1子段和  
    41.   
    42.             if(max<b[j])  
    43.             {  
    44.                 max = b[j];  
    45.             }  
    46.         }  
    47.         c[i+n-m] = max;  
    48.     }  
    49.   
    50.     int sum = 0;  
    51.     for(int j=m; j<=n; j++)  
    52.     {  
    53.         if(sum<b[j])  
    54.         {  
    55.             sum = b[j];  
    56.         }  
    57.     }  
    58.     return sum;  
    59. }  

         上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。
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