算法入门4：动态规划

分治算法将规模较大的问题划分成规模较小的子问题，通常，这些子问题是不重叠的。

这一篇要介绍的动态规划算法，也是基于问题划分，区别在于划分的子问题是有重叠的（黄色部分），这样在求解的过程中，对于重叠的部分只要求解一次，记录下结果（备忘录方法），其他子问题中直接使用即可，减少了重复计算，效率更高。

如下图，在计算子问题A的时候需要计算A的子问题a,b,c，计算B的时候需要计算b,c,d，这里b，c就是重叠部分。按照分治算法，b，c需要分别计算两次。按照动态规划，b，c只要求解A时计算一次，然后记录结果，在求解B时，直接使用。

动态规划算法常用于求解最优解问题。

动态规划算法

所谓动态规划，其动态就表现在求解一个问题最优解时，不是固定的计算、合并某些子问题的解，而是根据各子问题的解的情况，选择其中最优的。

例如：DP(n) = max{ DP(n-1)+1, DP(n-2)+2 }

求解规模为n的问题的解，等于DP(n-1)+1 和 DP(n-2)+1中的较大的值

简单理解动态规划，就是解当前问题的最优解时，综合考虑从其各子问题的最优解，从中构成得到当前问题的最优解。

比如要计算从A到D的最短路径DP(A)，其子问题为DP(B)和DP(C)。那么

其中AB = 2，AC=1

可见，在A处，不是简单考虑当前，认为AC<AB，所以走AC，然后走到C时，再作A类似的思考（这其实是贪心算法的思想）。而是，考虑B、C到D的距离，即DP(B)和DP(C)，再结合AB、AC做出选择，这就是动态规划（长远眼光：））。

动态规划的要素

显然，不是所有问题都能（或需要）使用动态规划算法求解。一个问题如果需要用动态规划算法求解，它需要具有如下两个性质（要素）：

• 最优子结构性质
• 子问题重叠性质

最优子结构性质

问题的最优解包含了其子问题的最优解，这种性质称为最优子结构性质

怎么理解这个性质？

该性质是指问题的最优解，是由其子问题的最优解构成，但具体是怎么构成的？不是简单的自下而上，诸如由DP(n-1)的最优解得到DP(n)的最优解之类，而是DP(n)的最优解可能由DP(n-1)构成，也可能和DP(n-1)没有关系，而是由DP(n-2)的最优解构成。这就是定义里用的是包含的意思。

再详细的，后面结合例子再具体讲解。

子问题重叠性质

这也是动态规划算法的一个关键。

动态规划算法其实是一种自下而上的算法，先计算出子问题的解，再由子问题的解去构造问题的解。

由于子问题存在有重叠，所以可以通过备忘录的方法，把子问题的最优解记录下来，当再次用到时，直接从备忘录中读取即可，不必再次使用，这就提高效率。

动态规划的步骤

包括如下4个步骤：

1.        描述最优解的结构

2.        递归定义最优解的值

3.        按自底向上的方式计算最优解的值

4.        由最优解的值构造一个最优解

最优解的值指的是：求解得到的问题的最优的值，如最大值，最小值；

最优解指的是：得到最优的值时所用的具体方法，如背包问题中具体怎么放置物品；

经典问题

（1）装配线调度

（2）矩阵连乘

（3）最长公共子序列

（4）背包问题

（5）多边形游戏

（6）最优三角剖分

（7）最优排序二叉树

（8）最优合并问题

最长公共子序列

问题

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

分析

         序列X和Y使用数组表示：X[1…N]，Y[1…N]，使用二维数组Z[N+1][M+1]定义解，其中Z[i][j] 表示 {X1,...，Xi}与{Y1,...,Yj}的最长公共子序列长度。如：Z[1][2]表示 {X1} 与 {Y1,Y2}

         由上面的定义可知：

Z[i][0] 表示X{…} 与 空序列Y {} 的公共子序列，故Z[i][0] = 0

Z[0][j] 表示空序列X {}{} 与Y {…}  的公共子序列，故Z[0][j]= 0

    递推公式如下：

为了求得最长公共子序列的具体值，需要在求解公共子序列长度的时候，添加标志（或称为备忘）以记录求解过程的每一步，便于在得到长度后，回溯求解过程，得到具体的序列。

下面的代码中使用how[N+1][M+1] 完成这一功能。

代码：

/************************************************************************
 * 名  称：LCS.cpp
 * 功  能：动态规划算法案例：最长公共子序列
 * 作  者：JarvisChu
 * 时  间：2013-11-8
 ************************************************************************/

#include <iostream>

#define N 8
#define M 7

char X[N+1]={' ','A','B','C','D','E','F','G','H'};// 序列 X   X0不用
char Y[M+1]={' ','B','D','G','H','A','F','A'};    // 序列 Y Y0不用

//#define N 4
//#define M 3
//char X[N+1]={' ','A','B','C','D'};// 序列 X X0不用
//char Y[M+1]={' ','A','B','D'};    // 序列 Y Y0不用


int Z[N+1][M+1]; //Z[i][j] 表示 {X1,...，Xi}与{Y1,...,Yj}的最长公共子序列长度
                 //Z[0][0] 表示 {} 与 {}
                 //Z[1][2] 表示 {X1} 与 {Y1,Y2}

int how[N+1][M+1]; //记录最长公子序列是如何得到的,用来追溯Z,得到具体的公共子序列
                   //how[i][j] = 0 表明记录 Z[i][j] = Z[i-1][j-1]+1，  X[i] == Y[j] 时;
                   //how[i][j] = 1 表明记录 Z[i][j] = Z[i-1][j]，  X[i] != Y[j] 时;
                   //how[i][j] = 2 表明记录 Z[i][j] = Z[i][j-1]，  X[i] != Y[j] 时;

/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能: 求序列 X和Y的最长公共子序列的长度 [求最优解的值]
 * 参  数：
 * 返  回：无
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
void LCSLength()
{
    int i,j;

    //X的{} 和 Y的{}{Y1}...{Y1,Y2}的公共子序列长度为0；同理有Y的{}
    for(i=0;i<N;i++) Z[i][0] = 0;
    for(j=0;j<M;j++) Z[0][j] = 0;

    //考虑其他情况，X和Y都顺序增长
    for(i=1;i<=N;i++)
    {
        for(j=1;j<=M;j++)
        {
            //X,Y当前元素相等，公共子序列长度加1
            if(X[i] == Y[j])
            {
                Z[i][j] = Z[i-1][j-1]+1;
                how[i][j] = 0;
            }

             //Z[i][j] = max(Z[i-1][j],Z[i][j-1]);

            else if(Z[i-1][j] >= Z[i][j-1])
            {
               Z[i][j] = Z[i-1][j];
               how[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                Z[i][j] = Z[i][j-1];
                how[i][j] = 2;
            }
        }
    }
}


/*----------------------------------------------------------------------------------
 * 功  能: 追溯Z，得到具体的公共子序列 [求最优解]
 * 参  数：
 * 返  回：无
 ------------------------------------------------------------------------------------*/
void LCS(int i,int j)
{
    if(i==0 || j==0) return ;

    if(how[i][j] == 0)
    {
        LCS(i-1,j-1);
        std::cout<<X[i]<<" ";
    }
    else if(how[i][j] == 1)
    {
        LCS(i-1,j);
    }
    else
    {
        LCS(i,j-1);
    }
}

int main()
{
    //最长公共子序列的长度
    LCSLength();
    std::cout<<Z[N][M]<<std::endl;//长度

    //for(int i=0;i<=N;i++)
    //{
    //    for(int j=0;j<=M;j++)
    //    {
    //        std::cout<<Z[i][j]<<"  ";
    //    }
    //    std::cout<<std::endl;
    //}

    LCS(N,M);
    return 0;
}

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.NET/jarvischu