• [AHOI2009]同类分布


    [AHOI2009]同类分布

    求区间([l,r])内的数,满足自己能整除自己各个数位上的和的数的个数,(l,rleq 10^{18})

    不难得知设(f_n)为n以内的满足条件的数,答案即(f_r-f_l),因为递推中要表现整除,可以考虑摸递推。

    要表现各个数位的和,又要变现长度,而且还要表现摸数,还有余数,故设(f[i][j][k][l])表示i位的数,各数位的和为j,摸数为k,余数为l的数的方案数,因此不难有

    [f[i][j][k][l]=sum_{p=0}^9{f[i-1][j-p][k][(l-p)\%k]} ]

    边界:(f[0][0][k][0]=1,k=0,1,2,...,162)

    注意到空间开不下,而摸数不涉及转移,故可以压掉,于是我们可以枚举各位和,临时求递推方程,来进行试填,没有其他的什么细节了,因为时间复杂度理论是不能过了,注意看起来不起眼的剪枝。

    参考代码:

    阶段实现

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #define il inline
    #define ri register
    #define ll long long
    using namespace std;
    int num[20];
    ll dp[20][200][200],base[20];
    il ll ask(ll,int);
    il int min(int,int);
    template<class f1,class f2>
    il f1 mod(f1,f2&);
    int main(){
        int i;ll ans(0),a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        for(i=base[0]=1;i<19;++i)base[i]=base[i-1]*10;
        for(i=1;i<163;++i)
            ans+=ask(b,i)-ask(a-1,i);
        printf("%lld
    ",ans);
        return 0;
    }
    il int min(int a,int b){
        return a<b?a:b;
    }
    il ll ask(ll n,int k){
        ri int i,j,r;ri ll l;ll ans(0);
        memset(num,0,sizeof(num));
        memset(dp,0,sizeof(dp)),++n;
        while(n)num[++num[0]]=n%10,n/=10;
        dp[0][0][0]=1;
        for(i=0;i<num[0];++i)
            for(j=0;j<=k;++j)
                for(l=0;l<k;++l)
                    if(dp[i][j][l])
                        for(r=0;r<10;++r)
                            dp[i+1][j+r][(l+r*base[i])%k]+=dp[i][j][l];
        r=k,l=0;
        for(i=num[0];i;--i){
            for(j=0;j<num[i]&&j<=r;++j)
                ans+=dp[i-1][r-j][mod(l-j*base[i-1],k)];
            r-=j,l=mod(l-j*base[i-1],k);
        }return ans;
    }
    template<class f1,class f2>
    il f1 mod(f1 x,f2 &y){
        return ((x%=y)+=y)%=y;
    }
    
    

    dfs实现

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #define il inline
    #define ri register
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll dp[25][200][200],base[25];
    int p,num[25],is[25][200][200];
    il ll ask(ll);
    ll dfs(int,int,int,bool);
    template<class free>il free mod(free);
    template<class free>il free Min(free,free);
    template<class free>il free Max(free,free);
    int main(){
        base[0]=1;ll a,b,ans(0);scanf("%lld%lld",&a,&b);
        for(int i(1);i<19;++i)base[i]=base[i-1]*10;
        printf("%lld",ask(b)-ask(a-1));
        return 0;
    }
    template<class free>il free mod(free x){return ((x%=p)+=p)%=p;}
    template<class free>il free Min(free a,free b){return a<b?a:b;}
    template<class free>il free Max(free a,free b){return a>b?a:b;}
    il ll ask(ll n){num[0]&=0;ll ans(0);
        do num[++num[0]]=n%10,n/=10;while(n);
        for(p=num[0]*9;p;--p)ans+=dfs(num[0],p,0,1);
        return ans;
    }
    ll dfs(int a,int b,int c,bool s){if(!a)return !b&&!c;
        if(!s&&is[a][b][c]==p)return dp[a][b][c];ll k(0);
        int i(Max(0,b-(a-1)*9)),j(Min(s?num[a]:9,b));
        while(i<=j)k+=dfs(a-1,b-i,mod(c-i*base[a-1]),s&&i==num[a]),++i;
        if(!s)dp[a][b][c]=k,is[a][b][c]=p;return k;
    }
    
    
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