java实现第五届蓝桥杯斐波那契

斐波那契

标题：斐波那契

斐波那契数列大家都非常熟悉。它的定义是：

f(x) = 1                    .... (x=1,2)
f(x) = f(x-1) + f(x-2)      .... (x>2)

对于给定的整数 n 和 m，我们希望求出：
f(1) + f(2) + ... + f(n)  的值。但这个值可能非常大，所以我们把它对 f(m) 取模。
公式参见【图1.png】

但这个数字依然很大，所以需要再对 p 求模。

【数据格式】
输入为一行用空格分开的整数 n m p (0 < n, m, p < 10^18)
输出为1个整数

例如，如果输入：
3 5
程序应该输出：

再例如，输入：
11 29
程序应该输出：

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

首先，关于斐波那契数的求取，如果使用递归法求取，会出现远远超时；迭代法求取差不多也会超时，此处，最好使用矩阵相乘法求取第n个斐波那契数。

其次，关于求取前n个斐波那契数和的问题，利用斐波那契数的性质（网上资料参考所得）:S(n) = F(n+2) - 1，其中S(n)是前n个斐波那契数的和，F(n + 2)是第n+2个斐波那契数。

最后，要考虑n，m的取值问题，经过使用计算机运算检测，一般n > 100，F(n)就会超过long型最大值，所以此处建议使用BigInteger类型，来存储斐波那契数。

下面的代码仅供参考，不保证n、m、p达到10^18数量级时，大整数类型的取余不会出现内存溢出问题哦。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static BigInteger[][] ONE = {{BigInteger.ONE, BigInteger.ONE},
        {BigInteger.ONE,BigInteger.ZERO}};
    public static BigInteger[][] ZERO = {{BigInteger.ZERO,BigInteger.ZERO},
        {BigInteger.ZERO,BigInteger.ZERO}};
    //求取矩阵ONE的n次方
    public BigInteger[][] getOneOfN(long n) {
        if(n == 0)
            return ZERO;
        if(n == 1)
            return ONE;
        if((n & 1) == 0) {   //当n为偶数时
            BigInteger[][] A = getOneOfN(n >> 1);
            return multiMatrix(A, A);
        }
        //当n为奇数时
        BigInteger[][] A = getOneOfN(n >> 1);
        return multiMatrix(multiMatrix(A, A), ONE);
    }
    //求取矩阵A*B的值
    public BigInteger[][] multiMatrix(BigInteger[][] A, BigInteger[][] B) {
        BigInteger[][] result = new BigInteger[A.length][B[0].length];
        for(int i = 0;i < A.length;i++)
            for(int j = 0;j < B[0].length;j++)
                result[i][j] = BigInteger.ZERO;
        for(int i = 0;i < A.length;i++)
            for(int j = 0;j < B.length;j++)
                for(int k = 0;k < A[0].length;k++)
                    result[i][j] = result[i][j].add(A[i][k].multiply(B[k][j]));
        return result;
    }
    //获取第n个斐波那契数
    public BigInteger getFibonacci(long n) {
        if(n == 1 || n == 2)
            return BigInteger.ONE;
        BigInteger[][] A  = new BigInteger[1][2];
        A[0][0] = BigInteger.ONE;
        A[0][1] = BigInteger.ONE;
        BigInteger[][] B = getOneOfN(n - 2);
        A = multiMatrix(A, B);
        return A[0][0];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Main test = new Main();
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long n = in.nextLong();
        long m = in.nextLong();
        BigInteger p = in.nextBigInteger();
        BigInteger result = BigInteger.ZERO;
        result = test.getFibonacci(n + 2).subtract(BigInteger.ONE);
        result = result.mod(test.getFibonacci(m));
        result = result.mod(p);
        System.out.println(result);
    }
    
}