1 问题描述
何为Prim算法？
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
原理简单介绍：
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
2 解决方案
2.1 贪心法
本文具体编码使用数据参考自《算法设计与分析基础》第三版，下面是其具体图示：
package com.liuzhen.chapter8;
import java.util.ArrayList;
public class Prim {
/*
* 参数G：给定的图，其顶点分别为0~G.length-1，相应权值为具体元素的值
* 函数功能：返回构造生成的最小生成树，以二维数组形式表示，其中元素为0表示最小生成树的边
*/
public void getMinTree(int[][] G) {
int[][] result = G;
int[] vertix = new int[G.length]; //记录顶点是否被访问，如果已被访问，则置相应顶点的元素值为-2
for(int i = 0;i < G.length;i++)
vertix[i] = i;
ArrayList<Integer> listV = new ArrayList<Integer>(); //保存已经遍历过的顶点
listV.add(0); //初始随意选择一个顶点作为起始点，此处选择顶点0
vertix[0] = -2; //表示顶点0被访问
while(listV.size() < G.length) { //当已被遍历的顶点数等于给定顶点数时，退出循环
int minDistance = Integer.MAX_VALUE; //用于寻找最小权值，初始化为int最大值，相当于无穷大的意思
int minV = -1; //用于存放未被遍历的顶点中与已被遍历顶点有最小权值的顶点
int minI = -1; //用于存放已被遍历的顶点与未被遍历顶点有最小权值的顶点 ；即G[minI][minV]在剩余的权值中最小
for(int i = 0;i < listV.size();i++) { //i 表示已被访问的顶点
int v1 = listV.get(i);
for(int j = 0;j < G.length;j++) {
if(vertix[j] != -2) { //满足此条件的表示，顶点j未被访问
if(G[v1][j] != -1 && G[v1][j] < minDistance) {//G[v1][j]值为-1表示v1和j是非相邻顶点
minDistance = G[v1][j];
minV = j;
minI = v1;
}
}
}
}
vertix[minV] = -2;
listV.add(minV);
result[minI][minV] = 0;
result[minV][minI] = 0;
}
System.out.println("使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：");
System.out.println(listV);
System.out.println("使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：");
for(int i = 0;i < result.length;i++) {
for(int j = 0;j < result[0].length;j++)
System.out.print(result[i][j]+" ");
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
Prim test = new Prim();
int[][] G = {{-1,3,-1,-1,6,5},
{3,-1,1,-1,-1,4},
{-1,1,-1,6,-1,4},
{-1,-1,6,-1,8,5},
{6,-1,-1,8,-1,2},
{5,4,4,5,2,-1}};
test.getMinTree(G);
}
}
运行结果：
使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：
[0, 1, 2, 5, 4, 3]
使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：
-1 0 -1 -1 6 5
-1 0 -1 -1 0
-1 0 -1 6 -1 4
-1 -1 6 -1 8 0
-1 -1 8 -1 0
0 4 0 0 -1