• [luogu]P1066 2^k进制数[数学][递推][高精度]


    [luogu]P1066

    2^k进制数

    题目描述

    设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:

    (1)r至少是个2位的2^k 进制数。

    (2)作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

    (3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。

    在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k<W≤30000)是事先给定的。

    问:满足上述条件的不同的r共有多少个?

    我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2^k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

    例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(2^3=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:

    2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。

    3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。

    所以,满足要求的r共有36个。

    输入输出格式

    输入格式:

    输入只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:

    k W

    输出格式:

    输出为1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。

    (提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)

    输入输出样例

    输入样例1#:

    3 7

    输出样例1#:

    36

    说明

    NOIP 2006 提高组 第四题


    递推性质很明显,当这位数填i时,下一位只能是(i,2k),用一个状态f[i][j]表示第i位填j的情况,这样会超时,注意是一个连续区间一起转移,可以采用前缀和的方式:

    我们就可以得到转移(从后往前做): f[i][j]=f[i-1][(1<<k)-1]-f[i-1][j],f[i][j]+=f[i][j-1];

    注意我们每次调用的一定比当前值大,于是我们可以省掉一维。

    其实比较坑爹的还是高精度啦,可恶。

    代码:

     1 //2017.11.6
     2 //递推 高精度 
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstdio>
     5 #include<cstring>
     6 using namespace std;
     7 typedef long long ll ;
     8 inline int read();
     9 int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
    10 namespace lys{
    11     struct gjd{
    12         int a[216];
    13         int len;
    14         gjd(){memset(a,0,sizeof a); len=0;}
    15     };
    16     gjd f[1<<10+7],ans;
    17     gjd add(gjd x,gjd y){
    18         int l=Max(x.len,y.len);
    19         int i,p=0;
    20         gjd z;
    21         for(i=1;i<=l;i++) z.a[i]=x.a[i]+y.a[i]+p,p=z.a[i]/10,z.a[i]%=10;
    22         if(p) z.a[++l]=p;
    23         z.len=l;
    24         return z;
    25     }
    26     gjd div(gjd x,gjd y){
    27         int l=x.len;
    28         int i;
    29         gjd z;
    30         for(i=1;i<=l;i++){
    31             z.a[i]=(x.a[i]-y.a[i]+10)%10;
    32             if(x.a[i]<y.a[i]) x.a[i+1]--;
    33         }
    34         if(!z.a[l]) l--;
    35         z.len=l;
    36         return z;
    37     }
    38     int K,w;
    39     int main(){
    40         ans.len=1;
    41         int i,j,k;
    42         K=read(); w=read();
    43         int n=w/K;
    44         for(i=0;i<(1<<K);i++){
    45             int x=i,t=0;
    46             while(x){
    47                 f[i].a[++t]=x%10;
    48                 x/=10;
    49             }
    50             f[i].len=t;
    51         }
    52         for(i=2;i<=n;i++)
    53             for(j=0;j<(1<<K);j++){
    54                 f[j]=div(f[(1<<K)-1],f[j]);
    55                 if(j) ans=add(ans,f[j]),f[j]=add(f[j],f[j-1]);
    56             }
    57         n=w%K;
    58         for(i=1;i<(1<<n);i++) ans=add(ans,div(f[(1<<K)-1],f[i]));
    59         for(i=ans.len;i;i--) printf("%d",ans.a[i]);
    60         puts("");
    61         return 0;
    62     }
    63 }
    64 int main(){
    65     lys::main();
    66     return 0;
    67 } 
    68 inline int read(){
    69     int kk=0,ff=1;
    70     char c=getchar();
    71     while(c<'0'||c>'9'){
    72         if(c=='-') ff=-1;
    73         c=getchar();
    74     }
    75     while(c>='0'&&c<='9') kk=kk*10+c-'0',c=getchar();
    76     return kk*ff;
    77 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/_inx/p/7793848.html
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