HAOI2012高速公路——子区间计算

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2221

似乎按点来算贡献很方便，但我抱住一篇没有这样的题解磕了两天...

以下转载：

---

题意：维护一段数列 支持区间加和求区间所有子区间的和的和

一看就知道要用线段树 于是用sum表示区间所有子区间的和的和 但是知道两个区间的sum并不能求出这两个区间并起来之后的sum 这时我们可以手玩一下

sum(1 2 3 4)=(1)+(2)+(1 2)+(3)+(4)+(3 4)+(2 3)+(1 2 3)+(2 3 4)+(1 2 3 4)竖着写在纸上 就会发现除了sum(1 2)和sum(3 4)外 所有包含左区间右端点的区间和(rsum)恰被算了len(右区间)次 同理包含右区间左端点的区间和(lsum)被算了len(左区间)次

于是 我们得到了sum(a b)=sum(a)+sum(b)+rsum(a)·len(b)+lsum(b)·len(a)

那么如何维护lsum和rsum呢 显然lsum(a b)=lsum(a)+lsum(b)+区间和(a)*len(b) rsum同理

至此维护操作已经没问题了 pushdown操作就简单很多了 当一个区间整体加a时 它的sum增加了a(n+2(n-1)+3(n-2)+...+n)也就是a((1+...+n)n-(1^2+...+(n-1)^2)-(1+...(n-1))) lsum rsum 同理 最后注意取GCD

---

看样子很精妙，似乎也挺好写的；

然而因为还是理解不到位，犯了众多细节的错误，调了两天，令人疯狂：

1.线段树上的每个点是车站之间的一段，所以读入的n和r都要-1；

2.需要另外记录纯粹的区间和(s)，用于计算sum，lsum，rsum等等，而不是直接用sum一概计算；

3.采用那样的build写法，竟然一度忘记在pushup里更新len，调了半天；

*4.注意这个背景下的线段树与平常的线段树写法有所不同：

　　平常的线段树在修改、查询时都会传下去一个目标区间，一般来说这个目标区间不用更改，判断只需看是否在其内部就可以；

　　但这道题的计算是需要用到目标区间的，所以在把操作下放到子区间时，其目标区间也必须相应有所修改，否则在计算时就会大错特错；

　　也正因此，必须进行判断：目标区间是完全在左儿子，还是完全在右儿子，还是在中间；不同的情况中目标区间的修改也有所不同。

虽然这种写法似乎不是很优秀，但在线段树中痛苦挣扎的过程中，我认识到就算是线段树也不能不求甚解，靠习惯打板子；必须根据题目灵活调整，否则就会出现错误。

错误版本1：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int const maxn=4e5+5;
int n,m;
struct N{
    int sum,lsum,rsum,len,lzy;
    int s;//!
}t[maxn];
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
void yf(int x,int nn)//nn
{
    int y=(1+nn)*nn/2;
    int a=x,b=y;
    if(a<b)swap(a,b);
    int c=gcd(a,b);
    printf("%d/%d
",x/c,y/c);
}
int cala(int x)//add
{
    int nn=t[x].len;
    int n=nn-1;
    return (1+nn)*nn/2*nn-(1+n)*n/2-n*(n+1)*(n*2+1)/6;//
}
int calb(int x)//lsum,rsum add
{
    int nn=t[x].len;
    return (1+nn)*nn/2;
}
void pushup(int x)
{
    int ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
    t[x].len=t[x<<1].len+t[x<<1|1].len;
    t[x].s=t[x<<1].s+t[x<<1|1].s;
    t[x].sum=t[ls].sum+t[rs].sum+t[ls].rsum*t[rs].len+t[rs].sum*t[ls].len;
    t[x].lsum=t[ls].lsum+t[rs].lsum+t[ls].s*t[rs].len;//s
    t[x].rsum=t[ls].rsum+t[rs].rsum+t[rs].s*t[ls].len;
}
void build(int l,int r,int x)
{
    if(l==r)
    {
        t[x].len=1;
        return;
    }
    int mid=((l+r)>>1);
    build(l,mid,x<<1);
    build(mid+1,r,x<<1|1);
    pushup(x);
}
void pushdown(int x)
{
    if(t[x].lzy)
    {
        int v=t[x].lzy;t[x].lzy=0;
        int ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
        t[ls].s+=t[ls].len*v;
        t[ls].sum+=cala(ls)*v;
        t[ls].lsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].rsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].lzy+=v;
        t[rs].s+=t[rs].len*v;
        t[rs].sum+=cala(rs)*v;
        t[rs].lsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].rsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].lzy+=v;
    }
}
void add(int l,int r,int L,int R,int v,int x)
{
    if(l>=L&&r<=R)
    {
        t[x].s+=t[x].len*v;
        t[x].sum+=cala(x)*v;
        t[x].lsum+=calb(x)*v;
        t[x].rsum+=calb(x)*v;
        t[x].lzy+=v;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid=((l+r)>>1);
    if(L<=mid)add(l,mid,L,R,v,x<<1);
    if(R>mid)add(mid+1,r,L,R,v,x<<1|1);
    pushup(x);
}
int qs(int l,int r,int L,int R,int x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].s;
    pushdown(x);
    int ret=0;
    int mid=((l+r)>>1);
    if(L<=mid)ret+=qs(l,mid,L,R,x<<1);
    if(R>mid)ret+=qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    return ret;
}
int qls(int l,int r,int L,int R,int x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].lsum;
    pushdown(x);
    int mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qls(l,mid,L,R,x<<1);
    return qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+qls(l,mid,L,R,x<<1)+qs(l,mid,L,R,x<<1)*t[x<<1|1].len;
}
int qrs(int l,int r,int L,int R,int x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].rsum;
    pushdown(x);
    int mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qrs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qrs(l,mid,L,R,x<<1);
    return qrs(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+qrs(l,mid,L,R,x<<1)+qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1)*t[x<<1].len;
}
int query(int l,int r,int L,int R,int x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].sum;
    pushdown(x);
    int mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return query(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return query(l,mid,L,R,x<<1);
    return query(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+query(l,mid,L,R,x<<1)
//        +qrs(l,mid,L,R,x<<1)*t[x<<1|1].len+qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1)*t[x<<1].len;
        +qrs(l,mid,L,R,x<<1)*(R-mid)+qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1)*(mid-L+1);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n--;//
    build(1,n,1);
    for(int i=1,l,r,v;i<=m;i++)
    {
        char dc;
        cin>>dc;
        scanf("%d%d",&l,&r);//车站而非间距 
        r--;
        if(dc=='C')
        {
            scanf("%d",&v);
            add(1,n,l,r,v,1);
        }
        if(dc=='Q')
        {
            int k=query(1,n,l,r,1);
            yf(k,r-l+1);
        }
    }
    return 0;
}

错误版本2：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll const maxn=5e5+5;
ll n,m;
struct N{
    ll sum,lsum,rsum,len,lzy;
    ll s;//!
}t[maxn];
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
void yf(ll x,ll nn)//nn
{
    ll y=(1+nn)*nn/2;
    ll a=x,b=y;
    if(a<b)swap(a,b);
    ll c=gcd(a,b);
    printf("%lld/%lld
",x/c,y/c);
}
ll cala(ll x)//add
{
    ll nn=t[x].len;
    ll n=nn-1;
    return (1+nn)*nn/2*nn-(1+n)*n/2-n*(n+1)*(n*2+1)/6;//
}
ll calb(ll x)//lsum,rsum add
{
    ll nn=t[x].len;
    return (1+nn)*nn/2;
}
void pushup(ll x)
{
    ll ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
//    t[x].len=t[x<<1].len+t[x<<1|1].len;
    t[x].s=t[x<<1].s+t[x<<1|1].s;
    t[x].sum=t[ls].sum+t[rs].sum+t[ls].rsum*t[rs].len+t[rs].lsum*t[ls].len;
    t[x].lsum=t[ls].lsum+t[rs].lsum+t[ls].s*t[rs].len;//s
    t[x].rsum=t[ls].rsum+t[rs].rsum+t[rs].s*t[ls].len;
}
void build(ll l,ll r,ll x)
{
    t[x].len=r-l+1;
    if(l==r)
    {
//        t[x].len=1;
        return;
    }
    ll mid=((l+r)>>1);
    build(l,mid,x<<1);
    build(mid+1,r,x<<1|1);
    pushup(x);
}
void pushdown(ll x)
{
    if(t[x].lzy)
    {
        ll v=t[x].lzy;t[x].lzy=0;
        ll ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
        t[ls].s+=t[ls].len*v;
        t[ls].sum+=cala(ls)*v;
        t[ls].lsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].rsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].lzy+=v;
        t[rs].s+=t[rs].len*v;
        t[rs].sum+=cala(rs)*v;
        t[rs].lsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].rsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].lzy+=v;
    }
}
void add(ll l,ll r,ll L,ll R,ll v,ll x)
{
    if(l>=L&&r<=R)//
    {
        t[x].s+=t[x].len*v;
        t[x].sum+=cala(x)*v;
        t[x].lsum+=calb(x)*v;
        t[x].rsum+=calb(x)*v;
        t[x].lzy+=v;
        return;
    }
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(R<=mid)add(l,mid,L,R,v,x<<1);
    else if(L>mid)add(mid+1,r,L,R,v,x<<1|1);
    else
    {
        add(l,mid,L,R,v,x<<1);
        add(mid+1,r,L,R,v,x<<1|1);
    }
    pushup(x);
}
ll qs(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].s;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(R<=mid)return qs(l,mid,L,R,x<<1);
    if(L>mid)return qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    return qs(l,mid,L,R,x<<1)+qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
}
ll qls(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].lsum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qls(l,mid,L,R,x<<1);
    return qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+qls(l,mid,L,R,x<<1)+qs(l,mid,L,R,x<<1)*(R-mid);
}
ll qrs(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].rsum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qrs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qrs(l,mid,L,R,x<<1);
    return qrs(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+qrs(l,mid,L,R,x<<1)+qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1)*(mid-L+1);
}
ll query(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
//    cout<<l<<" "<<r<<endl;
//    printf("*%lld %lld
",L,R);
    if(l>=L&&r<=R)return t[x].sum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return query(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return query(l,mid,L,R,x<<1);
    return query(mid+1,r,L,R,x<<1|1)+query(l,mid,L,R,x<<1)
        +qrs(l,mid,L,R,x<<1)*(R-mid)+qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1)*(mid-L+1);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    n--;//
    build(1,n,1);
    for(ll i=1,l,r,v;i<=m;i++)
    {
        char dc;
        cin>>dc;
        scanf("%lld%lld",&l,&r);//车站而非间距 
        r--;
        if(dc=='C')
        {
            scanf("%lld",&v);
            add(1,n,l,r,v,1);
        }
        if(dc=='Q')
        {
            ll k=query(1,n,l,r,1);
            yf(k,r-l+1);
        }
    }
    return 0;
}

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll const maxn=5e5+5;
ll n,m;
struct N{
    ll sum,lsum,rsum,len,lzy;
    ll s;//!
}t[maxn];
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
void yf(ll x,ll nn)//nn
{
    ll y=(1+nn)*nn/2;
    ll a=x,b=y;
    if(a<b)swap(a,b);
    ll c=gcd(a,b);
    printf("%lld/%lld
",x/c,y/c);
}
ll cala(ll x)//add
{
    ll nn=t[x].len;
    ll n=nn-1;
    return (1+nn)*nn/2*nn-(1+n)*n/2-n*(n+1)*(n*2+1)/6;//
}
ll calb(ll x)//lsum,rsum add
{
    ll nn=t[x].len;
    return (1+nn)*nn/2;
}
void pushup(ll x)
{
    ll ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
    t[x].len=t[x<<1].len+t[x<<1|1].len;
    t[x].s=t[x<<1].s+t[x<<1|1].s;
    t[x].sum=t[ls].sum+t[rs].sum+t[ls].rsum*t[rs].len+t[rs].lsum*t[ls].len;
    t[x].lsum=t[ls].lsum+t[rs].lsum+t[ls].s*t[rs].len;//s
    t[x].rsum=t[ls].rsum+t[rs].rsum+t[rs].s*t[ls].len;
}
void build(ll l,ll r,ll x)
{
//    t[x].len=r-l+1;
    if(l==r)
    {
        t[x].len=1;
        return;
    }
    ll mid=((l+r)>>1);
    build(l,mid,x<<1);
    build(mid+1,r,x<<1|1);
    pushup(x);
}
void pushdown(ll x)
{
    if(t[x].lzy)
    {
        ll v=t[x].lzy;t[x].lzy=0;
        ll ls=(x<<1),rs=(x<<1|1);
        t[ls].s+=t[ls].len*v;
        t[ls].sum+=cala(ls)*v;
        t[ls].lsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].rsum+=calb(ls)*v;
        t[ls].lzy+=v;
        t[rs].s+=t[rs].len*v;
        t[rs].sum+=cala(rs)*v;
        t[rs].lsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].rsum+=calb(rs)*v;
        t[rs].lzy+=v;
    }
}
void add(ll l,ll r,ll L,ll R,ll v,ll x)
{
    if(l>=L&&r<=R)//
    {
        t[x].s+=t[x].len*v;
        t[x].sum+=cala(x)*v;
        t[x].lsum+=calb(x)*v;
        t[x].rsum+=calb(x)*v;
        t[x].lzy+=v;
        return;
    }
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(R<=mid)add(l,mid,L,R,v,x<<1);
    else if(L>mid)add(mid+1,r,L,R,v,x<<1|1);
    else
    {
        add(l,mid,L,mid,v,x<<1);
        add(mid+1,r,mid+1,R,v,x<<1|1);
    }
    pushup(x);
}
ll qs(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l==L&&r==R)return t[x].s;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(R<=mid)return qs(l,mid,L,R,x<<1);
    if(L>mid)return qs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    return qs(l,mid,L,mid,x<<1)+qs(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1);
}
ll qls(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l==L&&r==R)return t[x].lsum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qls(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qls(l,mid,L,R,x<<1);
    return qls(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1)+qls(l,mid,L,mid,x<<1)
        +qs(l,mid,L,mid,x<<1)*(R-mid);
}
ll qrs(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)
{
    if(l==L&&r==R)return t[x].rsum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return qrs(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return qrs(l,mid,L,R,x<<1);
    return qrs(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1)+qrs(l,mid,L,mid,x<<1)
        +qs(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1)*(mid-L+1);
}
ll query(ll l,ll r,ll L,ll R,ll x)//注意L,R要纳入计算 
{
//    cout<<l<<" "<<r<<endl;
//    printf("*%lld %lld
",L,R);
    if(l==L&&r==R)return t[x].sum;//
    pushdown(x);
    ll mid=((l+r)>>1);
    if(L>mid)return query(mid+1,r,L,R,x<<1|1);
    if(R<=mid)return query(l,mid,L,R,x<<1);
    return query(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1)+query(l,mid,L,mid,x<<1)
        +qrs(l,mid,L,mid,x<<1)*(R-mid)+qls(mid+1,r,mid+1,R,x<<1|1)*(mid-L+1);//!
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    n--;//
    build(1,n,1);
    for(ll i=1,l,r,v;i<=m;i++)
    {
        char dc;
        cin>>dc;
        scanf("%lld%lld",&l,&r);//车站而非间距 
        r--;
        if(dc=='C')
        {
            scanf("%lld",&v);
            add(1,n,l,r,v,1);
        }
        if(dc=='Q')
        {
            ll k=query(1,n,l,r,1);
            yf(k,r-l+1);
        }
    }
    return 0;
}