分治法实现大整数乘法【C++语言】

如果实现传统算法中两个n位整数相乘，第一个整数中的n个数字都要分别乘以第二个整数的n个数字，这样就一共要做n*n次乘法。看上去设计一个乘法次数少于n*n的算法是不可能的，但事实证明并非如此，可以使用分治的思想计算两个大整数的相乘。

首先从仅有两位数字的两个数12和34考虑，12 = 1 * 10 + 2，34 = 3 * 10 + 4

把它们相乘：408 = 12 * 34 = (1 * 3) * 100 + (1 * 4 + 2 * 3) * 10 + 2 * 4

上式虽然产生了正确的结果，但是也使用了4次乘法。但是中间项的计算结果可以使用已经计算过的1 * 3和2 * 4来简化依次乘法

1 * 4 + 2 * 3 = (1 + 4) * ( 2 + 3) - 1 * 3 - 2 * 4

用更一般的字母代替上面的过程，可以得到如下的公式：

c = a * b = c2*100 + c1*10 + c0，其中c2 = a1 * b1, c0 = a0 * b0, c1 = a1 * b0 + a0 * b1 = (a1 + a0) * (b1 + b0)  - (c2 +c0)

a的前半部分记作a1, 后半部分记作a0，b的前半部分记作b1, 后半部分记作b0

对于位数更高的n来说

c = a * b 

= (a1 * 10 ^ n/2 + a0) * (b1 * 10 ^ n/2 + b0) 

= (a1*b1)*10^n + (a1 * b0 + a0 * b1) * 10 ^ n/2 + (a0 * b0)

= c2 * 10 ^ n + c1 * 10 ^ n/2 + c0

如果不考虑大整数的要求，仅考虑int范围内的整数相乘，则代码实现如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int qpow(int n, int a = 10) {
	int ret = 1;
	while (n) {
		if (n & 1) ret = ret * a;
		a = a * a;
		n >>= 1;
	}
	return ret;
}
int len(int n) {
	int a = 0;
	while (n) {
		n /= 10;
		++a;
	}
	return a;
}
int bigmul(int a, int b, int n) {
	if (n <= 2)
		return a * b;
	int a1 = a / qpow(n / 2);
	int a0 = a % qpow(n / 2);
	int b1 = b / qpow(n / 2);
	int b0 = b % qpow(n / 2);
	int c2 = bigmul(a1, b1, n / 2);
	int c0 = bigmul(a0, b0, n / 2);
	int c1 = bigmul(a1 + a0, b1 + b0, n / 2) - (c2 + c0);
	return c2 * qpow(n) + c1 * qpow(n / 2) + c0;
}
int main() {
	int a, b, n;
	while (cin >> a >> b) {
		n = qpow(ceil(log2(max(len(a), len(b)))), 2);
		cout << bigmul(a, b, n) << endl;
	}
}

如果进一步考虑大整数的要求，则可以通过字符串模拟操作实现，具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
int toInt(T s)
{
	// 将字符串或字符转化为数字
	int res;
	stringstream ss;
	ss << s;
	ss >> res;
	return res;
}
string toStr(int n)
{
	// 将数字转为字符串
	string res;
	stringstream ss;
	ss << n;
	ss >> res;
	return res;
}
void addZero(string &s, int n, bool pre = true)
{
	// 在字符串前或者字符串后添加0(默认为前)
	string temp(n, '0');
	s = pre ? temp + s : s + temp;
}
void removeZero(string &s)
{
	// 去除前导零
	int i = 0;
	while (i < s.length() && s[i] == '0')
		++i;
	if (i < s.length())
		s = s.substr(i);
	else
		s = "0";
}
string add(string a, string b)
{
	// 大数加法(只考虑a+b非负）
	string res;
	removeZero(a);
	removeZero(b);
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	int l = max((int)a.size(), (int)b.size());
	for (int i = 0, j = 0; j || i < l; ++i)
	{
		int t = j;
		if (i < a.size())
			t += toInt(a[i]);
		if (i < b.size())
			t += toInt(b[i]);
		int q = t % 10;
		res = char(q + '0') + res;
		j = t / 10;
	}
	return res;
}
string sub(string a, string b)
{
	// 大数减法(只考虑a-b非负）
	string res;
	removeZero(a);
	removeZero(b);
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	int lx = (int)a.size(), ly = (int)b.size(), j = 0;
	//int* temp = new int[lx];
	int *temp = (int *)calloc(lx, sizeof(int));
	for (int i = 0; i < lx; ++i)
	{
		int ai = toInt(a[i]);
		int bi = i < ly ? toInt(b[i]) : 0;
		temp[j++] = ai - bi;
	}
	for (int i = 0; i < lx; ++i)
	{
		if (temp[i] < 0)
		{
			temp[i] += 10;
			--temp[i + 1];
		}
	}
	for (int i = lx - 1; i >= 0; --i)
	{
		res += toStr(temp[i]);
	}
	return res;
}
string mul(string a, string b)
{
	// 大数乘法（只考虑a，b非负）
	string res;
	int n = 2;
	if (a.size() > 2 || b.size() > 2)
	{
		n = 4;
		while (n < a.size() || n < b.size())
			n <<= 1;
		addZero(a, n - (int)a.size());
		addZero(b, n - (int)b.size());
	}
	if (a.size() == 1)
		addZero(a, 1);
	if (b.size() == 1)
		addZero(b, 1);
	if (n == 2)
	{ // 递归终止
		int temp = toInt(a) * toInt(b);
		res = toStr(temp);
	}
	else
	{
		string a1, a0, b1, b0, c2, c1, c0;
		a1 = a.substr(0, n / 2);
		a0 = a.substr(n / 2);
		b1 = b.substr(0, n / 2);
		b0 = b.substr(n / 2);
		c2 = mul(a1, b1);
		c0 = mul(a0, b0);
		c1 = sub(mul(add(a0, a1), add(b0, b1)), add(c2, c0));
		addZero(c2, n, false);
		addZero(c1, n / 2, false);
		res = add(add(c2, c1), c0);
	}
	return res;
}
int main()
{
	string a, b;
	while (cin >> a >> b)
	{
		cout << mul(a, b) << endl;
	}
}